3°) Produit d'un vecteur par un réel.
Nous avons déjà défini ce qu'était l'addition de deux vecteurs. Et tout ce qui en découlait. Mais contrairement aux nombres, on ne peut pas définir de produit d'un vecteur par un autre. Ou plutôt si on peut mais le résultat est alors un nombre : c'est le produit scalaire que certains verront plus tard !
Par contre, on définit le produit d'un réel par un vecteur. Cette opération fait l'objet de ce paragraphe.
Produit d'un vecteur par un réel.
Applette illustrant le produit d'un vecteur par un réel.
Mode d'emploi :
Les extrémités du vecteur 
et l'origine de 
peuvent être redéfinies ou déplacées. Pour cela, il suffit de cliquer dessus et en laissant enfoncé le bouton de la souris de déplacer le curseur à l'endroit souhaité.
Quelques remarques.
Le produit d'un réel par un vecteur donne un nombre. Comme l'addition des vecteurs et la multiplication des nombres, celles-ci possède des propriétés que nous énoncerons au prochain sous-paragraphe.
Attention à la norme de certains vecteurs ! Rappelons ce que dit la définition :
est égale à la valeur absolue de k multipliée par la norme du vecteur .
Que peut-on dire de k ou de si 
?
Le seul vecteur dont la norme est nulle est le vecteur nul ! Ainsi nous pouvons écrire que :
sont deux nombres. Et quand un produit de deux réels est-il nul ?
Nous avons là un résultat digne d'être une proposition !
Cette proposition est importante. Elle est donc à retenir !
Propriétés du produit d'un vecteur par un réel.
A l'instar de l'addition, le produit d'un vecteur par un réel présente certaines propriétés (plus ou moins évidentes) que nous allons énoncer.
Dans ce qui suit, k et l sont des réels, et sont des vecteurs.
Distributivité de la multiplication d'un vecteur par un réel par rapport à l'addition des nombres.
se "distribue sur" les réels k et l : de un vecteur pour tous, on passe à un vecteur pour chacun.
Associativité de la multiplication des nombres et du produit d'un vecteur par un réel.
Distributivité du produit d'un vecteur par un réel par rapport à l'addition des vecteurs.
Une nouvelle forme de distributivité : le réel k se distribue sur les deux vecteurs formant la somme.
Cette propriété qui ne fait intervenir que des opérations sur de vecteurs (en effet la multplication des nombres n'entre pas en ligne de compte), n'en pas sans rappeler une propriété similaire chez les nombres qui est par exemple :
L'intérêt des trois propriétés que nous venons de voir est la simplification d'expressions vectorielles. Par exemple, cherchons à simplifier l'expression
Commençons le travail.
Cette expression finale de 
est nettement plus sympathique que sa forme originale. Au travers de ce calcul, nous avons appliqué nos trois propriétés. Chacune a donc son importance. Et peut-être aurez-vous remarqué que le calcul vectoriel marche exactement comme celui algébrique avec les x.