Fonctions affines en général.

Généralités

Définition.
Dire qu'une fonction f est affine signifie qu'il existe deux réels a et b tels que :

pour tout réel x, f(x) = a.x + b
Sont par exemple, des fonctions affines, les fonctions :

f(x) = 3.x - 2 , a = 3 et b = -2.
g(x) = -4.x + 5, a = -4 et b = 5.

Certaines fonctions affines portent des noms particuliers.

Si a = 0 alors f(x) = b. On dit alors que la fonction f est une fonction constante.
Si b = 0 alors f(x) = a.x. On dit alors que la fonction f est linéaire.

Les fonctions affines sont les fonctions les plus simples à étudier. Leur étude est riche d'enseignements. C'est ce à quoi, nous allons donc nous livrer.

Courbe d'une fonction affine.
La courbe de la fonction affine f(x) = a.x + b a pour équation

y = a.x + b Autrement dit, la courbe d'une fonction affine est une droite.
Donc, pour tracer la courbe d'une fonction affine, il suffit d'en connaître deux points. Et la règle fait le reste...

Etude générale de la fonction affine f(x) = a.x +b.
On considère la fonction affine f(x) = a.x + b.
Tout réel x a une image par cette fonction f.
L'étude de la fonction f se fera donc sur l'intervalle ]- ; +[.
Soient x et y deux réels tels que x < y.
Nous allons nous intéresser au signe de la différence f(y) - f(x).

f(y) - f(x) = (a.y + b) - (a.x + b) = a.y + b - a.y - b = a.x - a.y = a.(y - x) Il est clair que le facteur y - x est positif. En effet x est plus petit que y.
Le signe de la différence f(y) - f(x) sera le même que celui du facteur a.
Ainsi :

Quand a est négatif :
Si x < y alors f(y) - f(x) est négatif f(x) > f(y).
donc la fonction f est décroissante sur .
Quand a est positif:
Si x < y alors f(y) - f(x) est positif f(x) < f(y).
donc la fonction f est croissante sur .

Signe du binôme a.x + b.
Avant d'entamer les hostilités, nous allons déterminer le ou les antécédents de 0 par le fonction f.
Pour les trouver, il nous faut résoudre l'équation f(x) = 0.

f(x) = 0 équivaut à a.x + b =0 équivaut à a.x = -b équivaut à x = -b/a Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est -b/a.
Cette trouvaille est riche de conséquenses. En effet :

Quand a est négatif, la fonction f est décroissante.
Positionnons -b/a dans le tableau de variation de f. Donc lorsque x est situé avant -b/a, alors f(x) est plus grand que f(-b/a) = 0.
donc avant -b/a, f(x) est positif.
De même lorsque x est situé après -b/a, alors f(x) est plus petit que f(-b/a) = 0.
donc après -b/a, f(x) est négatif.
Conclusion : nous connaissons le signe du binôme a.x + b en fonction de x. Cela est résumé par le tableau de signe suivant :
Quand a est positif, la fonction f est croissante.
Positionnons là encore -b/a dans le tableau de variation de f. Lorsque x est plus petit que -b/a, alors f(x) est également plus petit que f(-b/a) = 0.
donc avant -b/a, f(x) est négatif.
Lorsque x est plus grand que -b/a, alors f(x) est également plus grand que f(-b/a) = 0.
donc après -b/a, f(x) est positif.
Conclusion : Le signe du binôme a.x + b en fonction de x est donc :

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