Pour connaître la valeur d'un nombre, on est souvent amené à utiliser des encadrements ou des approximations.
Dans toutes les sciences, la manipulation de valeurs exactes n'est pas indispensable. On se contente donc de calculs sur les valeurs approchées. Il est vrai qu'additionner et est plus contraignant et moins parlant que de faire la somme de 1,41 et 1,73 qui en sont deux valeurs approchées.
Cependant la manipulation des encadrements et des valeurs approchées requiert certaines précautions. Dans cette page, nous définirons ce qu'est un encadrement et les différents types d'approximations. Dans une autre, nous verrons comment certains encadrements peuvent découler d'autres. Ainsi que les erreurs à ne pas commettre !

Encadrer un réel, c'est en fait trouver deux nombres assez proche de ce premier, sur lesquels il sera facile de travailler. L'un est plus petit et l'autre plus grand.

La différence b – a porte le nom d'amplitude de l'encadrement. Plus cette amplitude est réduite et plus l'encadrement est précis.

Dans la pratique, a et b sont souvent des nombres décimaux. Mais rien n'empêche par exemple d'encadrer 1,5 à l'aide des nombres et .

Dire que a et b encadrent un réel x équivaut aussi à dire que le réel x fait partie de l'intervalle fermé borné [ a ; b].

Par exemple, les nombres décimaux 1,41 et 1,42 encadrent . L'amplitude de l'encadrement est alors égale à 0,01 soit la différence entre 1,42 et 1,41. On parle alors d'encadrement au centième.

Mais, peut-être vous demanderez-vous : "Qu'est-ce qui vous permet d'affirmer que est bien compris entre 1,41 et 1,42 ?". Si vous souhaitez le savoir, cliquez ici.

Si un encadrement permet en quelques sortes de prévoir le "comportement" d'un nombre au travers de certains calculs, on peut aussi décider de ne se contenter que d'une valeur proche.
Si l'encadrement pouvait faire penser à un voleur entre deux gendarmes, l'approximation elle peut être vue comme un voleur filé par la police...

Il existe trois types d'approximations. Celles-ci sont aussi appelées valeurs approchées.

Le réel a est un nombre qui est toujours positif. Certains le qualifient de "précision de l'approximation".

Dans la pratique, a et a sont souvent des nombres décimaux.

Dire que le nombre a est une approximation à a-près du réel x signifie que ce dernier fait partie de l'intervalle fermé borné [ a - a ; a + a ].

Par exemple, 1,415 est une approximation à 0,005-prés de . En effet :

Le réel a est là encore, un nombre positif.

C'est une sorte d' "approximation par le bas".

Dire que le nombre a est une approximation par défaut à a-près du réel x signifie que ce dernier fait partie de l'intervalle [ a ; a + a ].

Par exemple, 1,41 est une approximation par défaut au centième (à 0,01-prés) de . En effet :

La troncature est en fait une approximation par défaut. Par exemple, 1,41 qui est la troncature de , en est aussi une approximation par défaut au centième.

Le réel a est là toujours positif.

C'est une sorte d' "approximation par le haut".

Dire que le nombre a est une approximation par excès à a-près du réel x signifie que ce dernier fait partie de l'intervalle [ a - a ; a ].

Par exemple, 1,42 est une approximation par excès à 0,01-prés de . En effet :

La carré de , chacun le sait, est égal à 2. Celui de 1,41 vaut 1,9881. Enfin, le carré de 1,42 est égal à 2,0164.

Ainsi a-t-on la suite d'inégalités : (1,41)² 2 (1,42)².

Le passage à la racine carrée conservant l'ordre de ces inégalités en chaîne, il vient alors que : 1,41 1,42. Soit l'encadrement que nous escomptions.

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