1°) Les fondements de la résolution.

Résoudre une équation, ce n'est pas faire n'importe quoi. Retenez ce qui suit :

Résoudre une équation à une inconnue x dans , c’est déterminer l’ensemble des réels x vérifiant la dite équation. Cet ensemble est appelé ensemble des solutions de l’équation.

Lorsqu’on ajoute un même réel aux deux membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que la précédente.

Par exemple, les équations 3.x – 2 = 0 et 3.x – 2 + 2 = 0 + 2 ont les mêmes solutions.

Soustraire, c’est en fait ajouter l’opposé.

En effet, a – b = a + (-b).

Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une équation par un réel non nul, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que la précédente.

Par exemple, les équations 3.x – 2 = 0 et 6.x – 4 = 0 ont les mêmes solutions.

Diviser, c’est en fait multiplier par l’inverse.

Enfin dire deux équations sont équivalentes équivaut à dire qu'elles ont les mêmes solutions.

 

 

2°) Résolution d’équation du type A(x).B(x) = 0.

Certains appellent les équations de la forme A(x).B(x) = 0 des équations produits.

Ici, A(x) et B(x) sont des expressions en x. Par exemple, on peut avoir que A(x) = x2 – 2 et B(x) = x + 2.

 

Produit de deux réels.

Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs nuls.

C'est-à-dire que :

Dire que a.b = 0 équivaut à dire que a est nul ou que b est nul.

L’un des deux doit être nul. Les deux peuvent l’être simultanément. D’où la présence du "ou".

 

Application de cette règle.

Appliquons la règle à l’équation A(x).B(x) = 0. Ainsi :

A(x).B(x) = 0 équivaut à A(x) = 0 ou B(x) = 0.

Par exemple, intéressons-nous à l’équation (x2 – 2).(x + 2) = 0.

Dans le cas présent, A(x) = x2 – 2 et B(x) = x + 2.

Les nombres réels solutions de l’équation (x2 – 2).(x + 2) = 0 sont donc –2, – et .

On peut conclure la résolution en énonçant tous les éléments de l'ensemble S des solutions de cette équation. On écrit alors :

S = {-2, –, }.

Le fait de mettre ces trois réels entre accolades indiquent que l'ensemble S est formé des éléments –2, – et . On énonce toujours ces réels dans l'ordre croissant : du plus petit au plus grand.

La résolution de certaines équations factorisées se fait cette manière.

 

 

3°) Résolution d’équation du type A(x)/B(x) = 0.

Une méthode parfois fausse.

En effet, il reste alors que A(x) = 0. Ce qui parait déjà plus simple à résoudre ! Seulement, cela peut induire des erreurs !

Nous avons donc trouvé deux solutions pour cette équation qui seraient donc -1 et 1. Si ces deux réels sont solutions, c’est donc qu’ils la vérifient. essayons avec -1

On obtient donc 0/0. C'est-à-dire une anerie ! Car aucun réel n'est divisible par 0. Pas même lui !

Dans le premier paragraphe, nous l’avons écrit : "Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une équation par un réel non nul, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que la précédente".

Or là, nous avons multiplié par le réel x + 1 qui est nul lorsque x = -1. D’où l’erreur !

 

La meilleure façon de résoudre.

Quand on a une équation de la forme A(x)/B(x) = 0 à résoudre, le première chose à faire, c’est déterminer les réels qui ne peuvent en aucun cas être solution de cette équation. C’est-à-dire dans le cas présent, les réels x qui font que B(x) s’annule. Car on ne peut pas diviser par 0.

Reprenons l'exemple précédent.

On cherche d’abord pour quels réels B(x) = x + 1 s’annule. Il y a donc une première équation à résoudre.

Puis, on commence la résolution dans l’ensemble \{-1} (comprenez l’ensemble des réels privé de l’élément -1). –1 ne pourra pas être solution de cette équation.

La seule possibilité pour qu'un quotient soit nul est que le numérateur le soit. Synthétiquement :

Dire que A(x)/B(x) est nul équivaut à dire que A(x) = 0.

Par suite :

Or le seul réel de l’ensemble \{-1} dont le carré est 1, c’est 1.

Par suite, l’ensemble des réels solutions de l’équation est donc formé du seul réel 1. Cela peut encore se noter :

S = {1}.


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