Chacun arrivé en seconde, sait ou plutôt est sensé savoir que la multiplication est distributive par rapport à l'addition. C'est-à-dire que si a, b et c sont des nombres alors a.(b + c) = a.b + a.c
Le nombre a se "distribue" sur chacun des termes de la somme entre les parenthèses.
Dans le premier membre de l'égalité, on dit que l'expression est factorisée car l'opération "principale" est la multiplication des nombres a et (b + c).
Dans le second membre, on dit que l'expression est développée car l'opération "principale" est l'addition des nombres a.b et a.c.
Développer une expression est le fait de passer de passer d'un produit (par exemple a.(b + c) ) à une somme (c'est-à-dire a.b + a.c). La démarche contraire est la factorisation.
Identités remarquables .
On peut s'interroger sur l'utilité pédagogique de ces fameuses identités remarquables. Dans la pratique, elles permettent souvent de se sortir assez aisément d'une situation. Le seul conseil que l'on puisse donner est de les connaître par cœur et surtout de savoir les utiliser !
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
(a + b) × (a - b) = a2 - b2
Pour note, la seconde identité remarquable peut être considérée comme une extension de la première. En effet, il ne faut pas oublier que a - b peut aussi s'écrire a + (-b). Soustraire c'est aussi ajouter l'opposé.
On pourrait en ajouter des tas d'autres comme (a + b)3 = a3 + 3.a.b2 + 3.a2.b + b3 mais elles ne seraient d'aucune utilité en seconde. Retenir celles-là et surtout savoir en user suffira amplement à assurer notre bonheur.
2°) Des méthodes pour factoriser.
Développer est la portée de n'importe qui (ou presque !). Par contre, factoriser n'est pas toujours évident. La factorisation est le fait d'écrire une expression sous la forme d'un produit. En Seconde, seules deux méthodes de bases comptent. L'une fait intervenir les identités remarquables et l'autre la mise en évidence d'un facteur commun. Pour conclure ce paragraphe, nous verrons une méthode qui permet de factoriser n'importe quelle expression du second degré (c'est-à-dire celles qui sont de la forme a.x2 + b.x + c).
Avec les identités remarquables.
Factorisons l'expression x2 - 49. Remarquons pour commencer que nous avons là une expression de la forme a2 - b2 où a vaut x et b, 7. Ayant remarquer cela, tout va très vite :
x2 - 49 = (x - 7).(x + 7).
Le grand secret dans ce genre d'affaires c'est de penser à la bonne formule au premier coup d'œil. Par exemple, une différence de deux carrés doit immédiatement faire penser à la troisième identités remarquable, c'est-à-dire a2 - b2 = (a + b).(a - b)..
Ou encore la somme de deux carrés auquel on ajoute ou on retire un produit ( par exemple x2 + 49 - 14.x ) doit immédiatement faire penser aux deux premières identités remarquables. Dans notre exemple, comme 14.x = 2× 7× x, c'est la seconde identité remarquable à laquelle il faut recourir.
Mise en évidence d'un facteur commun.
Cette technique repose sur la formule que nous avons énoncée à l'occasion du premier paragraphe, à savoir : ab + a.c = a.(b + c).
Encore un conseil : une égalité marche dans les deux sens. C'est-à-dire que si machin est égal à bidule alors bidule est aussi égal à machin. Souvent, on ne voit qu'un des sens.
Tout le problème est donc de trouver ce a qui est le facteur commun.
Par exemple, factorisons l'expression (2.x + 1).(3.x + 2) + (2.x + 1).(7.x - 2).
Si on regarde attentivement cette expression, on remarque un somme de deux produits que sont (2.x + 1).(3.x + 2) et (2.x + 1).(7.x - 2) . Deux produits qui ont un facteur en commun en la personne de (2.x + 1). Nous avons donc trouvé notre a.
De là :
Autrement écrit : 10.x.(2.x + 1).
Là, le facteur en commun était fortement visible. Il y a des cas où il est plus furtif que F-117. Là comme ailleurs, ce qui sert le plus c'est le flair et l'instinct !
Il existe des cas où il faut recourir plusieurs fois aux techniques que nous venons de voir.
Factorisons l'expression (x2 - 2.x + 1) + 2x2 - 2.
C'est vrai : on pourrait développer ! Mais ce n'est pas le but de la manœuvre. Nous, ce qu'on veut, c'est factoriser !
Nous avons recouru deux fois aux identités remarquables et une fois à la mise en évidence d'un facteur en commun. Mais rassurez-vous, on peut faire nettement plus compliqué !
Factorisation d'expressions du second degré.
Factorisons l'expression x2 – 2x – 3 . Il n'y a là aucune identité remarquable que l'on puisse appliquer.
Remarquons que x2 – 2x est le début de la forme développée de (x – 1)2. Pour factoriser notre expression, nous allons donc écrire qu'elle est égale à (x – 1)2 plus quelque chose qu'il nous faudra déterminer. Ainsi :
On reconnaît là, une identité remarquable de la forme a2 – b2. Ainsi :
La forme factorisée de l'expression x2 – 2x – 3 est donc (x + 1).(x –3).
Si au lieu de x2 – 2x – 3, nous avions eu x2 + 2x – 3, il aurait alors fallu faire apparaître (x + 1)2. En effet x2 + 2x est le début de la forme développée de (x + 1)2.
Mais toutes les expressions du second degré ne sont pas factorisable. C'est par exemple, le cas de x2 – 2x + 5. En effet :
Cette dernière forme n'est pas une identité remarquable du type a2 – b2. Que faire alors ?
Si l'on avait pu factoriser l'expression x2 – 2x – 3, alors nous aurions pu trouver des solutions à l'équation x2 – 2x – 3 = 0.
Or (x – 1)2 + 4 ne sera jamais égal à 0 car c'est une somme de deux termes positifs (un carré et 4). Donc pas de solution à l'équation x2 – 2x – 3 = 0. Et par conséquent, l'expression x2 – 2x – 3 n'est pas factorisable.
En première, on voit une formule qui permet de factoriser si cela est possible n'importe quelle expression du second degré. Cette formule découle de ce que nous venons de faire.
L'applette suivante factorise les expressions du second degré si cela est possible !
3°) De l'utilité de la factorisation pour certaines équations.
Une chose à retenir : un produit de plusieurs facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
On dit bien "Un des facteurs". Autrement dit, le produit a.b est nul si et seulement si a est nul ou b est nul.
Attention, il s'agit là d'un "ou" normal. C'est-à-dire que les deux peuvent être nuls simultanément. La seule condition posée ici, est que l'un des deux au moins soit nul.
Quoiqu'il en soit, cette propriété du produit va nous aider à résoudre certaines équations à l'aide de quelques factorisations.
Par exemple, Intéressons-nous à l'équation 8.x2 - 18 + 4.(2.x - 3)2 = 0.
Si on développe bêtement, on arrive à 24.x2 - 48.x + 18 = 0. A moins d'être Superman ou d'être au-delà de la première et d'user de méga-formules miracles, cette équation semble insoluble. Autrement dit, il est impossible de la résoudre. Mais l'Empereur l'a dit : impossible n'est pas français ! Et nous allons à présent lui rendre hommage au travers de la factorisation.
8.x2 - 18 + 4.(2.x - 3)2 = 0 équivaut à 2.(4.x2 - 9) + 4.(2.x - 3)2 = 0
On reconnaît en 4.x2 - 9 une identité remarquable de la forme a2 - b2.
Ainsi tout cela équivaut à:
.
Au passage, on en a profité pour écrire (2.x - 3)2 sous la forme d'un produit car le carré d'un nombre n'est rien d'autre que le produit de ce nombre par lui-même.
Apparaît alors dans des deux termes de la somme du premier membre un facteur commun en la personne de (2.x - 3). Il ne reste plus qu'à factoriser :
L'équation équivaut donc à
c'est-à-dire à
ce qui s'écrit encore
(2.x - 3).(12.x - 6) = 0
Là, le travail est pratiquement terminé. En effet, nous l'avons dit en début de paragraphe, un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Autrement écrit :
Les deux solutions de cette équation sont donc 0,5 et 1,5. Et comme les beaux films se terminent par le mot "fin", la résolution d'une équation doit se terminer par l'énoncé de l'ensemble des solutions. Ainsi écrirons-nous si nous appelons S cet ensemble que :
S = {0,5 ; 1,5}.
Une remarque : le fait de mettre les deux nombres entre accolades indiquent que l'ensemble S est formé de ces deux seuls éléments. S'ils avaient été entre crochets, alors l'ensemble S aurait été l'intervalle fermé [0,5 ; 1,5].
Dans l'exemple que nous avons vu comme dans bien d'autres équations du même type, le flair et une certaine forme de chance sont nécessaires...sauf si une bonne âme a décidé de vous guider...
4°) De l'utilité de la factorisation pour dresser des tableaux de signe.
Là encore, vous allez vous demander ce que la factorisation peut bien apporter lorsqu'il s'agit de dresser un tableau de signe.
Avant toute chose, rappelons que dresser le tableau de signe d'une expression A(x), c'est dire pour quelles valeurs de x, A(x) est négative, nulle ou positive. Tout un programme !
Et là factorisation dans tout cela, me direz-vous ? Elle arrive comme Zorro. C'est-à-dire sans se presser...
Plus sérieusement, vous êtes-vous jamais demandé quel était le signe du produit d'un nombre positif par un nombre négatif ?
Il est négatif, bien sûr !
Plus globalement, les deux règles qui suivent sont à retenir :
Un produit ou un quotient des deux nombres de même signe est toujours positif.
Un produit ou un quotient de deux nombres de signe différent est toujours négatif.
Vous êtes-vous jamais demandé pourquoi le carré de -1 était 1 ? Pour en avoir une idée, cliquez ici.
Dressons le tableau de signe de l'expression A(x) = 8.x2 - 18 + 4.(2.x - 3)2..
Ceux qui étaient avec nous dans le troisième paragraphe, se souviennent que en résolvant une équation, nous avions factorisée la dite expression et trouvée que A(x) = (2.x - 3).(12.x - 6)
Or les signes de 2.x - 3 et de 12.x - 6, on les connaît. En effet, nous avons traiter le signe d'un binôme lors du châpitre sur les fonctions affines.
2.x - 3 est un binôme de la forme a.x + b où a vaut 2 et b vaut -3. En effet
.
Par conséquent, 2.x - 3 étant un binôme avec un a strictement positif, son tableau de signe s'établit comme suit :
A savoir donc que 2.x - 3 est négatif lorsque x est inférieur à 1,5, est nul en cas d'égalité et positif en cas de supériorité dudit x.
12.x - 6 est aussi un binôme de la forme a.x + b avec a = 12 et b = -6. Par conséquent, le tableau de signe de l'expression est :
A présent, on peut dresser le tableau de signe de A(x). Celui-ci est le suivant :
Commentons ce tableau :
Quand x est inférieur à 0,5, les deux binômes sont négatifs. Or le produit de deux négatifs donne un positif. Lorsque x < 0,5, A(x) est donc positif.
Lorsque x = 0,5, alors 12.x - 6 est égal à 0. Etant le produit de deux réels dont l'un est nul, A(1,5) est par conséquent lui-aussi nul.
Entre 0,5 et 1,5, le binôme 2.x - 3 est positif à la différence de 12.x - 6 qui lui reste négatif. Or le produit d'un négatif et d'un positif donne un négatif. Donc A(x) est négatif entre 0,5 et 1,5.
Quand x = 1,5 alors l'expression 2.x - 3 s'annule. Il est alors clair que A(2) est aussi nul.
Enfin lorsque x >1,5 est supérieur, les deux binômes sont positifs. Il en va alors de même pour A(x).
Résolution d'une inéquation à l'aide d'un tableau de signe.
Prenons pour exemple l'inéquation 8.x2 - 18 
-4.(2.x - 3)2.
Il est certain que ce n'est pas sans rappeler certaines choses. En effet si on ramène tout dans le premier membre, l'inéquation devient alors
.
Autrement dit, résoudre notre inéquation, c'est savoir pour quelles valeurs de x l'expression A(x) est négative ou nulle (à cause de l'inférieur ou égal).
Or cette question, nous l'avons déjà abordée. Nous avons dressé le tableau de signe de l'expression A(x).
D'après ce tableau, nous pouvons affamer que A(x) est négatif ou nul sur l'intervalle [0,5 ; 1,5].
L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc cet intervalle.
Comme quoi les tableaux de signe sont précieux. Une autre application de ceux-ci est le sens de variation de certaines fonctions. Enfin, là c'est une autre histoire.
L'extra-plus : pourquoi le carré de -1 est-il 1 ?
Pour répondre à cette question, intéressons-nous à l'équation x2 - 1 = 0. Autrement écrit, on va chercher tous les réels dont le carré est 1.
x2 - 1 = 0 est une identité remarquable de la forme a2 - b2.Ainsi si on résout l'équation :
x2 - 1 = 0 équivaut à (x - 1).(x + 1) = 0 équivaut à x = - 1 ou x = 1.
Autrement dit, le réel -1 est solution de cette équation et donc son carré vaut bien 1.
C'est en fait à cause de cela que le produit ou le quotient de deux nombres négatifs est positif.