Nous savons (c’est glissant) que le vecteur a pour coordonnées (x_B - x_A ; y_B - y_A).

On appelle C le point de coordonnées (x_B ; y_A).

On peut alors écrire que :

= (x_B - x_A).

A et C sont donc deux points de la droite dont D dont est un vecteur directeur et qui passe par A. Dans le repère de cette droite qu'est (A ; ), on peut écrire que :

De la même manière :

= (y_A - y_B).

A et B sont donc deux points de la droite dont D' qui passe par B et dont est un vecteur directeur. Dans le repère de cette droite qu'est (B ; ), on peut écrire que :

De plus, la droite D est parallèle à (OI). En effet est un vecteur directeur de ces deux droites.

Il en va de même pour D' et (OJ). Comme (OI) est perpendiculaire à (OJ), les droites D et D' sont donc elles-aussi perpendiculaires.

C étant le point d'intersection de ces deux droites, le triangle (ABC) est donc rectangle en C. Le théorème de Pythogore lui est donc applicable. Ainsi :

AB² = AC² + BC²

Ainsi donc :

Autrement dit :

Note : certains diront peut-être que cette démonstration est une escroquerie. En effet le point C peut être confondu avec A ou B. Il suffit pour cela que A et B aient même ordonnée ou même abscisse. Le triangle (ABC) est alors plat, C étant confondu avec A ou B. Comment peut-on alors parler de triangle rectangle ? En fait, il n'y a aucun problème car le théorème de Pythagore marche parfaitement pour ces cas-là...