1°) Application des cinq commandements aux inéquations.

C’est essentiellement aux inéquations du premier degré (par exemple 2.x - 3 > 5.x +3 ) que nous allons nous intéresser.

Dire que deux inéquations sont équivalentes signifie qu’elles ont les mêmes solutions.

Lorsqu’on résout une inéquation (comme d’ailleurs lorsqu’on résout une équation), on écrit en fait une suite d’inéquations (ou d’équations) qui sont toutes équivalents entre elles.

 

Les règles essentielles à la résolution de ces inéquations.

® Lorsqu’on ajoute un même réel aux deux membres d’une inéquation, l’inéquation qu’on obtient, a les mêmes solutions que la première.
Par exemple, les inéquations 2.x - 3 > 0 et 2.x -5 > -2 ont les mêmes solutions. La seconde inéquation, c’est la première à laquelle on a ajouté -2.

® Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inéquations par un même réel non nul, l’inéquation qui en résulte à les mêmes solutions que le première.
Par exemple, les inéquations 2.x > 3 et 4.x > 6 sont équivalentes et donc ont les mêmes solutions. La seconde inéquation, c’est la première multipliée par 2.

 

Dans les deux résolutions auxquelles nous nous livrerons, nous ne ferons qu’ajouter et multiplier par des réels non nuls...avec les conséquences que cela implique sur le sens de l’inégalité.
La résolution d’une inéquation ressemble beaucoup à la résolution d’une équation à deux exceptions prés :
® Le fait de multiplier par un réel négatif change le sens de l’inégalité.
® L’ensemble des solutions.

 

Résolution d’une première inéquation.

Résolvons l’équation 5.x - 3 2.x + 4.

On commence par ajouter 3 aux deux membres de l’équation. Ajouter un même réel conserve le sens de l’inégalité.

5.x - 3 + 3 2.x + 4 + 3     ce qui simplifié, donne     5.x 2.x + 7.

Cette addition a eu pour effet de ne laisser dans le premier membre que des termes en x. La prochaine étape va consister à éliminer les termes en x du second membre (en l’occurrence 2.x).

On ajoute -2.x aux deux membres de l’inégalité

5.x - 2.x 2.x + 7 - 2.x     ce qui simplifié, donne     3.x 7.

Afin de faire disparaître le 3 devant le x, on multiplie les deux membres de l’inéquation par l’inverse de 3, à savoir 1/3.
Comme on multiplie par un nombre positif, le sens est conservé.

Là, le travail est pratiquement terminé. Il ne reste plus qu’à déterminer l’ensemble des solutions.

L’ensemble des réels x solutions de l’inéquation 5.x - 3 2.x + 4 est le même que celui des solutions de l’inéquation x 7/3. Autrement dit, cet ensemble des solutions est l’intervalle [7/3 ; +[.

 

Résolution d’une seconde inéquation.

Résolvons l’inéquation -7.x < -5.x + 3.

Comme précédemment, la but de la manœuvre, c’est de ramener tout ce qui est en x d’un côté et tout ce qui ne l’est pas de l’autre.

On ajoute 5.x aux deux membres. Cette addition va éliminer le -5.x du second membre.
Vu qu’il s’agit d’une addition, le sens de l’inégalité est conservé.

-7.x + 5.x < -5.x + 3 + 5.x      ce qui simplifié, donne     -2.x < 3.

Pour éliminer le -2 devant le x, on multiplie alors les deux membres de l’inéquation par l’inverse de -2 qui est -1/2.
Comme on multiplie les deux membres de notre inéquation par un réel négatif, le sens de l’inégalité change.

A partir de là, il ne reste plus qu’à conclure sur l’ensemble des solutions. Cet ensemble S est celui des réels x > -1,5, c’est-à-dire qu’il s’agit de l’intervalle ]-3/2 ; +[.

 

Applette résolvant les inéquations et équations du premier degré.

Cette applette résout inéquations et équations du premier degré (celles en x). N'essayez surtout pas de résoudre avec des équations ou inéquations du second degré, vous obtiendriez des bétises !
C'est uniquement pour vérifier que vous avez juste ! Une bonne résolution se fait à la main.

 

Résolution d’un troisième type d’inéquation.

Pour résoudre certaines inéquations, on peut recourir à la factorisation et au tableau de signe.

 

 

2°) Application des cinq commandements aux encadrements.

Une autre application de ces propriétés concerne les encadrements. Nous allons nous en expliquer...
Tout le vocabulaire concernant les encadrements fait l’objet du premier paragraphe de "Encadrements et approximations"...

 

Encadrements simples.

Tout le monde le sait : 1,41 et 1,42 forment un encadrement de avec une amplitude de 0,01.

 

Première mission : déterminer un encadrement de - 1.

Il est de notoriété publique que si a b alors a + c b + c. A l’encadrement de , nous allons ajouter -1. Ainsi :

1,41 - 1 - 1 1,42 - 1
Ce qui s’écrit encore :
0,41 - 1 0,42.

Ainsi 0,41 et 0,42 forment un encadrement au centième de - 1.

 

Seconde mission : déterminer un encadrement de 3 × .

Nous savons que si c est un réel positif et si a b alors a.c b.c.
Nous allons appliquer cette propriété à l’encadrement de avec un réel c égal à 3.
Ainsi :

3 × 1,41 3 × 3 × 1,42
Ce qui simplifié, donne :
4,23 3 × 4,26.

3 × est donc encadré par 4,23 et 4,26. L’amplitude de l’encadrement obtenu est de 0,03.

 

Troisième mission : déterminer un encadrement de -2 × .

Nous savons que si c est un réel négatif et si a b alors a.c b.c. Autrement dit, multiplier les deux membres d’une inégalité par un même réel négatif en change l’ordre. Appliquons cette propriété à l’encadrement de avec un réel c égal à -2.
Donc :

-2 × 1,41 -2 × -2 × 1,42
Ce qui simplifié et réordonné du plus petit au plus grand, nous donne :
-2,84 -2 × -2,82

Autrement dit, -2 × est encadré par -2,84 et -2,82. L’amplitude de cet encadrement vaut donc 2 centièmes.

 

Encadrement d’une somme.

Nous savons que :
® 1,41 et 1,42 forment un encadrement de avec une amplitude égale au centième.
® 1,73 et 1,75 forment un encadrement au deux centièmes (ou 0,02) de .
Notre mission : déterminer un encadrement de + .

Nous savons que si a, b, c et d sont des réels tels que a b et c d alors a + c b + d.
A l’instar de cette dite chose, nous allons additionner les encadrements des deux racines membres à membres. Ainsi :

3,14 et 3,17 encadrent donc, le réel + . L’amplitude de cet encadrement est de trois centièmes (ou 0,03).

 

Encadrement d’une différence.

La mission est : déterminer un encadrement de - .

A ce niveau, il y a certainement des petits malins qui vont soustraire membre à membre les deux encadrements !
Ils vont faire la chose suivante :


Une des conséquences de cette bêtise est que -0,33 est supérieur ou égal à -0,32.
Or -0,33 < -0,32. Autrement dit, par cette méthode, on tombe sur une bêtise ! Elle est donc fausse. A ne pas retenir !

La stratégie gagnante :
Tout repose sur le fait que soustraire revient à ajouter l'opposé.

Par exemple, faire    4 - 6    revient à faire    4 + (-6).
Notre stratégie comportera deux étapes :
® Nous déterminerons un encadrement de -. Pour cela, nous multiplierons l’encadrement de par -1.
® Nous ajouterons alors les encadrements de et de -.
Au travail !

On multplie l'encadrement de par -1. Comme on multiplie par un réel négatif, le sens de cette double inégalité change. Ainsi :

-1,75 - -1,73.
On additionne cet encadrement à celui de . Ainsi :

Le réel - est encadré par -0,34 et -0,31. L’amplitude de cet encadrement est de 3 centièmes (ou de 0,03).

 

Encadrement d’un produit.

Notre mission : déterminer un encadrement de .

Tout repose sur le fait que    = ×
Il est connu si a, b, c et d sont des réels positifs tels que a b et c d alors a.c b.d.
Appliquons cette propriété aux encadrements de et . Ils ne contiennent que des nombres positifs. Nous allons multiplier ces deux encadrements membre à membre.
Ainsi :

est donc encadré par 2,4393 et 2,485. L’amplitude de cet encadrement est donc de 0,0457.

 

 

3°) Application aux variations d’une fonction.

Les propriétés sur les inégalités permettent de démontrer qu'une fonction est croissante ou décroissante sur un certain intervalle.

On s'intéresse à la fonction

Nous allons montrer qu’elle est décroissante sur [0 ; +[. On note aussi cet intervalle +. En effet, c'est l'ensemble des réels positifs ou nuls.

Quand on calcule f(x) à la calculatrice, on effectue dans l’ordre les opérations suivantes :

® On élève x au carré. Résultat :    x2 .
® On ajoute 1 à ce résultat. Résultat :    x2 + 1.
® On calcule la racine carrée de ce que l’on vient d’obtenir. Résultat :    .
® On inverse cette dernière chose. Résultat :    .

Pour démontrer la décroissante de f sur +, nous allons suivre cette séquence de calcul.
Nous allons prouver que si x y alors f(x) f(y).

Soient donc x et y deux réels positifs (donc élément de + ) tels que x y.

Première étape : passage au carré.
x et y étant deux réels positifs, leurs carrés sont rangés dans le même ordre qu’eux.

Donc    x2 y2

Seconde étape : On ajoute 1.
Vu qu’on ajoute un même réel aux deux membres, l’ordre est conservé.

Donc    x2 + 1 y2 + 1.

Troisième étape : passage à la racine carrée.
Remarquons au préalable que les deux membres de l'inégalité sont positifs.
Le passage à la racine carrée conserve l’ordre.

Quatrième et dernière étape : passage à l'inverse.
Une racine d'un réel étant un nombre positif, les deux membres de l’inégalité précédente sont donc des réels non nuls et positifs.
Par passage à l’inverse, l’ordre de l’inégalité change.

Donc    f(x) f(y).

Ce qu’on voulait !

Conclusion : f est une fonction décroissante sur [0 ; +[.

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