1°) Vecteur directeur d’une droite.
Une droite peut être définie par deux de ses points. On peut aussi la définir par un point et un vecteur qui aura même direction que celle-ci. On parle alors de vecteur directeur. C’est l’objet de ce paragraphe.
Une proposition importante...
Lorsque nous avons parlé de la colinéarité, nous avons vu un théorème caractérisant vectoriellement l’alignement de trois points distincts. La proposition suivante étend ce théorème
La preuve de cette proposition :
Pour démontrer cette proposition, nous allons y aller par étape car le terrain est potentiellement miné.
Démontrer une équivalence, c’est démontrer deux implications. C’est ici le cas :
Montrons que si A, B et C sont alignés alors il existe un réel k tel que 
.
Nous savons déjà que ce réel existe si A, B et C sont distincts. C’est notre théorème qui nous l’assure.
Mais que se passe-t-il lorsque A, B et C ne sont pas tous distincts. Nous devons envisager tous ces cas-là.
Il n’y a que deux cas à envisager. En effet de part les conditions d’application de la proposition, A et B ne peuvent être confondus. Ainsi :
. Dans ce cas-là, le réel k existe. Il est égal à 0.
. Dans ce cas-là aussi, le réel k existe et il est égal à 1. Montrons que s'il existe un réel k tel que alors les points A, B et C sont alignés.
Nous savons que si A, B et C sont distincts alors il n’y a aucun problème, c’est le théorème qui le dit.
Maintenant si A, B et C ne sont pas distincts, c’est donc que l’un au moins des trois est confondu avec un autre. Bref, il n’y a alors que deux points à considérer dont l’un au moins souffre de dédoublement de l’appellation. Et deux points sont toujours alignés.
La seconde implication montrée, nous pouvons nous exclamer : on a gagné !
Vecteur directeur d’une droite.
On commence ce sous-paragraphe par la définition d'un vecteur directeur.
Pour avoir la qualité de vecteur directeur d’une droite, un vecteur doit avoir une direction. Il est donc nécessairement non nul.
Une conséquence de cette définition est cette première proposition.
Nous l’avons dit et répété : la colinéarité des vecteurs et le parallélisme des droites reposent sur le même concept : une même direction pour tous.
La preuve de cette proposition :
Nous allons procéder par équivalence. La condition d’application est ici que 
est un vecteur direction de la droite 
. Donc le vecteur et la droite
ont même direction.
Un vecteur directeur remarquable de toute droite est celui formé par deux de ses points particuliers.
En effet, le vecteur 
a même direction que la droite (AB) qui n’est autre que la droite
.
A présent, tout est prêt pour que nous retombions sur nos pieds
2°) Repère d’une droite. Abscisse d’un point.
est un vecteur directeur de . A est un point quelconque de .
On peut alors construire le point B défini par 
.
La droite est aussi la droite (AB). Tout point M de est donc aligné avec A et B. Ceux-ci sont distincts. En effet étant un vecteur directeur, il est donc non nul.
.
.
. On remplace alors le premier vecteur 
par son expression en k et le second par son expression en l. Ainsi
est non nul, cela donc k - l qui est nécessairement nul. D’où :
Attention : ici on parle de repère d’une droite et non d’un plan...
3°) Mesure algébrique d’un vecteur.
Dans ce tout le paragraphe,
est une droite munie du repère (O ; 
).
Mesure algébrique d’un vecteur.
Soient A et B deux points de la droite
.
Là, se présentent deux cas :
1er cas : A et B sont confondus. A ce moment-là, on peut écrire que 
.
2nd cas : A et B sont distincts. On peut alors dire que les vecteurs et sont colinéaires. Ils ont en effet même direction : celle de la droite
. Donc il existe un réel non nul k tel que 
. Ce que nous recherchions.
En résumé dans les deux cas, on peut dire qu’il existe un réel k (qui peut être nul dans le premier cas) tel que . On dit alors que k est la mesure algébrique du vecteur dans le repère (O ; ).
Ainsi 
.
Une chose à ne pas oublier est que la mesure algébrique d’un vecteur est un réel qui peut-être négatif comme être positif ou nul.
Propriétés de cette mesure algébrique :
Propriété 1 : La mesure algébrique du vecteur 
est l’opposé de celle de .
En effet :
Propriété 2 : La mesure algébrique du vecteur 
est l’abscisse du point A.
En effet, de part la définition de l’abscisse de A,
Propriété 3 : A, B, C et D sont quatre points de la droite
. l est un réel quelconque.
La conséquence de cette propriété est que si deux vecteurs et 
sont égaux (cas l = 1) alors il en va de même pour leurs valeurs algébriques.
Propriété 4 : Si A et B sont deux points de la droite alors
En effet comme , par passage à la norme, il vient que :
Explicitons cette mesure algébrique !
Mais peut-on dire plus précisément ce qu'est la mesure algébrique. La réponse est oui. Pour cela, nous allons envisager trois cas et utiliser la quatrième propriété :
1er cas 
: A ce moment-là, A et B sont confondus. La mesure algébrique de vaut donc 0. Ainsi 
.
2nd cas et ont même sens. A ce moment là, la mesure algébrique de est positive. En effet dans le cas contraire et ne pourraient avoir même sens. N’oublions pas que .
De part ce qu’est la valeur absolue et la propriété 4, comme 
est positive comme le quotient de deux normes alors
3ème cas : et sont de sens contraire. Ici, la mesure algébrique de est nécessairement négative. Avec les mêmes incantations que précédemment, on peut affirmer que
Relation de Chasles pour les mesures algébriques.
Une variante de la relation de Chasles existe pour les mesures algébriques. Elle découle de celle pour les vecteurs. La voici :
La preuve de cette relation de Chasles :
Pour parvenir à nos fins, nous utiliserons la relation de Chasles classique, celle que tout le monde connaît !
Comme A, B et C sont trois points de la droite
munie du repère (O ; ) alors on a :
.
, il vient :
est un vecteur non nul. La seule possibilité pour que
soit nul.
.
C’est-à-dire ce qu’on voulait !
Une dernière propriété : lien entre mesure algébrique et abscisse.
Une chose intéressante à remarquer est que la mesure algébrique du vecteur peut s’exprimer en fonction des abscisses de deux points.
La preuve de cette proposition :
C’est un simple calcul qui va nous permettre de nous sortir d’affaire.
