Chacun sait ce qu'est un nombre positif. Notre définition repose là-dessus.

On tire de cette définition quelques extensions :
On dit que b est supérieur (ou égal) à a lorsque la différence b – a est positive ou nulle. On note cette relation a b ou bien encore b a.
On dit que le réel a est inférieur (ou égal) au réel b lorsque le réel b est supérieur (ou égal) au réel a. De la même manière, a est strictement inférieur à b lorsque b est strictement supérieur à a.

En fait, la seule chose à retenir dans tout ce dédale axiomatique, est que :

Nous rappelons ces règles maintes fois évoquées.

Ce que dit le théorème :
Le point (i) : le fait d'ajouter le même nombre des deux côtés de l'inégalité n'en change pas le sens.
Le point (ii) : la multiplication des deux membres d'une inégalité par un réel strictement positif n'en change pas le sens.
Le point (iii) : la multiplication des deux membres d'une inégalité par un réel strictement négatif en change le sens.

Vous me direz: "vous additionnez et vous multipliez, mais quid de la soustraction et de la division ?".
Ayez toujours présent à l'esprit que :

Comme pour toute démonstration, nous allons partir de nos hypothèses et progresser comme nous le pourrons.
Attention, ici comme après, la seule chose que nous sachions avec les règles de signes, est que :

Dire que a < b équivaut à dire que b – a est strictement positif.
Or le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif. Ainsi le nombre c × ( b – a) est strictement positif.
La distributivité de la multiplication aidant, il est clair que le réel b × c – a × c est aussi strictement positif ! Car c'est le même !
Une équivalence marchant dans les deux sens, il vient alors que b× c > a × c.

(iii) : Les hypothèses sont ici que a < b et que c est un nombre strictement négatif.

Comme d'habitude : a < b équivaut b – a est strictement positif.
Or le produit d'un réel strictement positif et d'un autre strictement négatif est strictement négatif. Donc c × ( b – a) est strictement négatif comme b × c – a × c qui n'est rien d'autre que sa forme développée.
Par suite, arrive ce qui devait arriver, c'est-à-dire que b × c > a × c.

Le point (i) nous dit que deux inégalités dans le même sens peuvent donc être additionnées membre à membre.

Les points (ii) et (iii) donnent les deux seuls cas où la multiplication membre à membre fonctionne. Sinon comme dirait l'autre, il faut voir !

Par contre dans le cas où a et c sont négatifs et b et d positifs, il n'y a pas de règle précise.
En effet, si a = -2, b = 1, c = -3 et d = 2 alors clairement a × c qui vaut 6 est supérieur à b × d qui vaut 2.
Mais si a = -2, b = 3, c = -2 et d = 7 alors là, b × d qui est égal à 21 est supérieur à a × c qui vaut 4.

(i) : Les hypothèses sont que a < b et c < d.

Pour parvenir à nos fins, nous utiliserons le point (i) du théorème du second paragraphe.
Comme a < b, ce point (i) nous permet alors de dire que a + c < b + c. On rajoute le réel c aux deux membres.
De même comme c < d, en rajoutant b aux deux membres de l'inégalité, il vient que c + b < d + b.
En résumant, on a donc montré que a + c < b + c < b + d.
Ainsi a-t-on que a + c < b + d. Autrement dit : ce qu'on voulait !

(ii) : Les hypothèses ici sont : a < b, c < d et a, b, c et d sont quatre réels positifs.

Nous allons procéder quasiment de la même manière.
Comme c est un réel positif, le point (ii) du théorème du second paragraphe est donc applicable à c et à l'inégalité a < b. Ainsi a-t-on que a.c b.c.
De même, ce point (ii) s'applique aussi au réel b qui est strictement positif et à l'inégalité c < d. Ainsi c.b < d.b.
Pour note, le fait que b soit un réel strictement positif tient au fait que b > a 0.
Si l'on résume, on a donc obtenu que : a.c b.c < b.d.
Par conséquent, a.c < b.d. L'inégalité tant recherchée est donc démontrée.

(iii) : Les hypothèses sont ici : a < b, c < d avec a et b positifs et, c et d négatifs.

Nous allons exécuter quasiment la même manœuvre que dans les deux cas précédents.
Le point (iii) du théorème du second paragraphe est applicable au réel d qui est négatif et à l'inégalité a < b. Ainsi vient-il que a.d b.d.
De plus, le point (ii) de ce même théorème est applicable au réel b qui lui est strictement positif (vu que b > a 0) et à l'inégalité c < d. En découle-t-il que b.c < b.d.
Si on récapitule, nous avons donc obtenu que : a.d b.d > b.c.
Ainsi a-t-on bien que : a.d > b.c. Ce qu'on souhaitait obtenir.

Commentaires sur le théorème :
Le point (i) : le passage au carré pour deux nombres positifs ne change pas l'ordre de l'inégalité.
Le point (ii) : cet ordre change si ces deux réels sont négatifs.
Ce théorème nous permet entre autres choses, d'affirmer que la fonction carrée est décroissante sur ]- ; 0] (c'est une autre écriture de R^-) et croissante sur [0 ; +[ (là, autre écriture de ⁺).

Dans les deux cas, nous allons factoriser la différence b² – a² puis nous étudierons le signe des facteurs intervenant dans le produit.

L'hypothèse commune à ces deux points est l'inégalité a < b. Ainsi sait-on déjà que b – a est strictement positif quoiqu'il arrive.
On peut écrire que : b² – a² = (b – a).(b + a ).
Là, comme nous savons déjà que b – a est strictement positif, le signe de b² – a² sera donc celui de b + a. Reste à voir ce qui se passe pour ce dernier.

(i) : L'hypothèse dans ce cas, est que a et b sont positifs. Une somme de deux réels positifs étant positif, b² – a² est donc positif. Elle est de plus non nulle car b ne peut être nul (en effet b > a 0 ).
Donc b² - a² est strictement positif. Ce qui équivaut à dire que a² < b².
Ce qu'on voulait !

(ii) : Là, l'hypothèse est que a et b sont deux réels négatifs.
Comme a < b, le réel a est donc strictement négatif.
Il en va alors de même pour leur somme. Par suite, b² – a² est aussi strictement négatif en tant que produit d'un réel strictement positif (c'est-à-dire b – a) et d'un nombre strictement négatif (c'est b + a qui est visé).
Ainsi a² > b². Ce que le théorème avait annoncé, se vérifie donc bien !

Quelques remarques :
Le passage à la racine carrée conserve l'ordre de l'inégalité.
Ce théorème nous permet d'affirmer que la fonction racine carrée est croissante sur ⁺.

L'hypothèse est ici a < b. Autrement dit, b – a est positif.

Or la racine carrée d'un nombre est un nombre positif. C'est la définition qui le dit !
Donc est strictement positif en tant que somme de deux nombres positifs dont l'un est strictement positif. En effet b étant non nul, sa racine est strictement positive.
De part les règles de signes, est nécessairement strictement positif.
S'il était négatif, b - a le serait également ! Et c'est pas le cas !
Par suite, il vient donc que . Ce qu'on voulait !

Quelques remarques :

Le passage à l'inverse pour une égalité concernant deux réels ayant même signe (c'est-à-dire tous les deux positifs ou tous les deux négatifs), change donc l'ordre de celle-ci.

Si a est un réel négatif et b un réel positif alors d'une part, 1/a est aussi négatif comme 1/b demeure positif. Dans ce cas-là, le sens de l'inégalité est conservé par le passage à l'inverse.

Ce théorème nous permet d'affirmer que la fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0[ ainsi que sur ]0 ; +[.

On aura noté que les réels a et b sont précisés non nuls. Ceci pour pouvoir les inverser. Avant toute application de ce théorème, il convient donc de s'assurer que les deux membres de l'inégalité ne peuvent en aucun cas être nul.

Les deux hypothèses sont ici que a < b et que a et b sont de même signe.

Comme a < b, on a comme d'habitude que b - a > 0. Donc a - b est lui strictement négatif.
Intéressons-nous à la différence de leur deux inverses.

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