/2 + k.
où k est un entier relatif.Dans ce qui suit, a
est un réel dont le cosinus est non nul. Autrement dit, a
¹
/2 + k.
où k est un entier relatif.
On appelle M le point associé au réel a
. Dans le repère (O ; 
,
), il a donc pour coordonnées (cos(a
) ; sin(a
)). La question que l'on se pose est :
Pourquoi la droite (OM) coupe-t-elle la tangente 
au cercle en A,
au point de coordonnées (1 ; tan(a )) ?
Pour commencer, déterminons une équation de la droite (OM).
Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur 
(cos(a
) ; sin(a
)). On peut alors déterminer une équation cartésienne de la droite (OM).
Une équation cartésienne de la droite (OM) est donc sin(a ).x + cos(a ).y = 0.
Nous pouvons alors dire que les droites (OM) et
sont sécantes.
En effet une équation cartésienne de
est x –1 = 0. On applique alors le test de parallélisme et :
a × b' – a' × b = 1 × cos(a ) – 0 = cos(a ).
Or a est un réel dont le cosinus est non nul. Donc les deux droites ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes. Reste à déterminer leur point d'intersection. Appelons-le T(xT ; yT).
Comme T fait partie de
alors xT = 1.
Comme il fait aussi partie de la droite (OM), ses coordonnées vérifient l'équation trouvée précédemment. Ainsi a-t-on que :
.
Le point d'intersection des droites (OM) et
a donc pour coordonnées (1 ; tan(a
)).
En résumé :
Si M est le point associé au réel a
alors :
Le cosinus de a
est l'abscisse du point M.
Le sinus de a
est l'ordonnée du point M.
Si a
a un cosinus non nul alors la tangente de a
est l'ordonnée du point d'intersection de la droite (OM) et de celle qui a pour équation x = 1. C'est la tangente en A(1 ; 0) au cercle trigonométrique.