| Définition : dire
que le point M' est l'image du point M par la symétrie de centre
O signifie que
O est le milieu du segment [MM'].
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Les quatre transformations définies ci-dessous ont déjà été vues, définies et pratiquées au collège. Dans cette page, nous nous bornerons à en rappeler les vraies définitions ainsi quelques propriétés qui seront illustrées.
Symétrie centrale.
La symétrie centrale est la première transformation vue au collège. Elle
se fait par rapport à un centre, c'est-à-dire par rapport à un point.
| Définition : dire
que le point M' est l'image du point M par la symétrie de centre
O signifie que
O est le milieu du segment [MM'].
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Note : la symétrie centrale est une homothétie de rapport -1. C'est aussi une rotation de p radians ou 180° e
Les propriétés de cette symétrie centrale sont les suivantes :
| A' et B' sont les images respectives des
points A et B par la symétrie de centre O.
L'image de la droite (AB) par la symétrie de centre O est la droite (A'B'). De plus, ces deux droites sont parallèles. De la même façon, l'image du segment [AB] par cette même symétrie de centre O est le segment [A'B']. Enfin, la symétrie centrale est une isométrie. C'est-à-dire qu'elle conserve les longueurs. Ainsi : AB = A'B'. |
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La symétrie centrale conserve aussi le parallélisme et l'orthogonalité. Donc :
| La symétrie centrale conserve également
les angles géométriques et orientés.
Ainsi si A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et
C par la symétrie ce centre O alors |
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La symétrie centrale conserve donc les formes et les figures : un triangle rectangle ou isocèle reste rectangle ou isocèle, un quadrilatère demeure un quadrilatère, les carrés restent des carrés... etc...
| Dans le même esprit, ajoutons que la
symétrie centrale conserve les cercles.
Si I' est l'image du point I par la symétrie de centre O alors l'image du cercle de centre I et de rayon r par cette même symétrie est le cercle de centre I' et de rayon r. |
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Symétrie axiale.
La symétrie axiale se fait par rapport à un axe, c'est-à-dire par rapport
à une droite.
Définition : dire
que le point M' est l'image du point M par la symétrie d'axe ( )
signifie que la droite D
est la médiatrice du segment [MM'].
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Passons en revue (ga'd'vô !) les propriétés de cette symétrie axiale.
| Comme pour sa consoeur centrale, la
symétrie axiale conserve alignement et longueur.
Si A' et B' sont les images respectives des points A et B par la symétrie d'axe (D) alors :
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La symétrie axiale conserve aussi le parallélisme, l'orthogonalité, les
formes et les figures. De même, l'image d'un cercle est un cercle de même
rayon.
Seule grande différence avec la "centrale", si elle conserve les
angles géométriques, elle inverse les angles orientés.
Si A', B' et C' sont les images respectives
des points A, B et C par la symétrie d'axe (D)
alors  .
Par contre, les angles géométriques correspondant sont égaux. |
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Translation.
La translation est l'appellation mathématique de ce que l'on appelle
communément un déplacement.
Lorsque l'on se déplace, on fait mouvement dans une certaine direction et d'une
certaine distance : autrement dit, on se déplace selon un certain vecteur.
Définition : dire
que le point M' est l'image du point M par la translation de vecteur 
signifie que 
= .
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La translation déplace les figures et les situations géométriques. Cette
transformation a donc certainement toutes les "vertus".
Examinons donc les propriétés de la translation.
| A' et B' sont les images respectives des
points A et B par la translation de vecteur . L'image de la droite (AB) par cette translation est la droite (A'B'). De plus, ces deux droites sont parallèles. L''image du segment [AB] est le segment [A'B']. Enfin, la translation est aussi une isométrie. Les longueurs AB et A'B' sont donc égales. |
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La translation conserve aussi tout ce qui est parallélisme et
orthogonalité. Ainsi les carrés demeurent-ils des carrés, des cercles restent
des cercles...
Reste à voir ce qu'il advient des angles orientés ou non.
| Puisqu'elle les déplace, la translation conserve
donc les angles et orientés.
Si A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et
C par la symétrie ce centre O alors |
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Rotation.
Une rotation fait pivoter les figures ou les formes autour d'un point.
Cette pauvre bougresse est introduite en Troisième. La description qu'on en
donne la bâtardise. Nous allons rétablir cette ignominie.
La définition que nous donnerons de la rotation s'appuie sur les angles
orientés.
Enfin si en Troisième les angles sont donnés en degrés, en Seconde et après
ils sont exprimés en radians.
Définition : dire
que le point M' est l'image du point M par la rotation de centre O et
d'angle a signifie
que 
a se prononce "alpha". Dans l'alphabet grec, cette lettre correspond au "a" latin.
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Une rotation de p radians ou 180° est une symétrie centrale.
La rotation fait pivoter les figures et les situations géométriques. A l'instar de ces trois consoeurs, cette transformation conserve donc tout ! Mais voyons cela en détail !
| A' et B' sont les images respectives des
points A et B par la rotation de centre O et
d'angle a. L'image de la droite (AB) par ladite rotation est la droite (A'B'). Cependant ces deux droites ne sont pas nécessairement parallèles. L''image de [AB] est le segment [A'B']. Enfin, la rotation est aussi une isométrie. Elle conserve donc les distances . |
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A l'instar des trois précédentes transformations, la rotation conserve parallélisme, la perpendicularité, les formes et les figures.
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Elle conserve également les angles orientés. Ainsi si A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et
C par la rotation de centre O et
d'angle a alors |
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.
