Globalement, trois grands théorèmes sont vus au collège :

L'objet de cette page est de les rappeler et de proposer une démonstration.

 

Théorème de Thalès et théorème des milieux.
Ce que nous appellerons le théorème de Thalès est en fait le théorème proprement dit et sa réciproque.
Le théorème constitue une première et importante étape dans la "numérisation" de la géométrie : une égalité de rapport implique un parallélisme.  Comme chacun peut le constater, il est plus facile de raisonner sur des nombres que sur des points ou des droites...

Théorème : (de Thalès)
A, B, C sont trois points du plan.
Le point M fait partie de la droite (AB).
Le point N fait partie de la droite (AC).
  1. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles  alors  .

     
  2. Si on a l'égalité  et si les deux triplets de  points A ,B, M  et A, C, N s'enchaînent dans le même ordre  alors   les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Il existe une version vectorielle du théorème de Thalès. C'est à partir de celle-ci que le théorème ci-dessus peut-être démontré.

Un peu d'histoire : Thalès était un savant grec qui vécut entre -627 et -547. Originaire de la ville de Milet, il était un généraliste des sciences comme la majorité de ses confrères de l'époque. 
La propriété comme quoi la proportionnalité des longueurs et le parallélisme sont liés, est connue et employée depuis l'antiquité. Le théorème de Thalès ne serait pas dû à la personne dont il porte le nom. Ce sont en fait des français qui le baptisèrent ainsi à la fin du XIXème siècle.

Un des corollaire du théorème de Thalès est le théorème des milieux. Même si ce dernier était connu sans doute bien avant l'énoncé de Thalès, il n'en demeure pas moins un cas particulier. Même si la formulation que nous en donnerons ne le laisse pas transparaître.

Théorème : (des milieux)
  1. La droite qui passe par les milieux de deux des côtés du triangle est parallèle au troisième côté.
     
  2. Si une droite passe par le milieu d'un premier côté et est parallèle au second côté  alors  elle passe également par le milieu du troisième côté.

 

Théorème de Pythagore.

Théorème : (de Pythagore)
A, B et C sont trois points du plan.

Dire que le triangle ABC est rectangle en A   équivaut à dire que   AC2 + AB2 = BC2

  

Ce théorème permet de démontrer qu'un triangle dont l'on connaît les dimensions, est rectangle.
Il permet aussi de déterminer la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle pour peu que l'on en connaisse les longueurs des deux premiers.

Un peu d'histoire : le théorème de Pythagore était connu des Babyloniens dés 1500 avant que Jésus n'est Crié. Cependant, le premier à l'avoir démontré est un certain Pythagore (né en -580, mort en -500) originaire de la ville de Samos (Grèce). Depuis ce théorème porte son nom.

 

Théorème de l'angle au centre.

Théorème : (de l'angle au centre)
A et B sont deux points d'un cercle de centre O.

Pour tout point M de ce cercle, la mesure de l'angle géométrique AMB est égale à la moitié de celle de l'angle au centre AOB.
Une des conséquences de ce théorème est que si M et N sont deux points du cercle de centre O alors les mesures des angles AMB et ANB sont égales.

En effet, ils sont toutes les deux égales à la moitié de l'angle au centre AOB.
Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
(c) AMLTI Janvier 2000/Janvier 2003. Tous droits réservés.