1°) Le radian.

Le radian.

Un angle peut être mesuré dans diverses unités. Parmi elles, le degré, le grade et une nouvelle unité : le radian.

Le radian se définit de la manière suivante :

Explicitement cela donne la situation suivante :

Remarque : Désormais quand nous dirons qu'un angle mesure 1, il faudra comprendre qu'il mesure 1 radian. C'est l'unité par défaut

 

Lien entre degrés et radians.

L'unité employée jusqu'à présent était le degré. Il serait avantageux de pouvoir convertir ceux-ci en radians. Et réciproquement.

Un angle plat de 180° vaut radians (environ 3,1415). Connaissant cela, il est facile de convertir d'une unité dans l'autre.

Un tour complet faisant 360°, sa mesure en radians est donc 2 . Et plus particulièrement :


Conversion et équivalences des mesures angulaires en degrés, radians, grades.

0 0 0
30 /6 200/6 » 33,33...
45 /4 50
60 /3 200/3 » 66,66...
90 /2 100
180 200
360 2 400

Le tableau ci-dessus, permet de convertir des degrés en radians ou en grades et inversement. Pour cela, on rentre la mesure dans la colonne correspondant à l'unité. Puis appuyez sur le bouton de la colonne correspondante. Ce tableau utilise AMCA. En cas de problème, consulter .


Regardons sur un cercle à quoi correspondent tous ces angles. L'origine de ces angles est fixeé en 0.

Remarque : Désormais quand nous dirons qu'un angle mesure 1, il faudra comprendre qu'il mesure 1 radian. C'est l'unité par défaut

 

Lien entre une mesure en radians et la longueur d'un arc de cercle.

Le périmètre d'un cercle de rayon 1 est égal à 2 . Un tour complet représente un angle 2 radians.

De même le périmètre d'un demi-cercle de rayon 1 est égal à . La mesure d'un angle plat vaut radians.

De façon plus générale, si A et B sont deux points d'un cercle de centre O et de rayon 1 alors la longueur de l'arc de cercle est égale à la mesure en radians de l'angle géométrique .

Par exemple si le cercle a pour rayon 1 centimètre eu si mes() = /5 radians alors l'arc de cercle mesure /5 centimètres.

Et quand le cercle a un rayon quelconque, peut-on lier la longueur de l'arc à la mesure de l'angle au centre qu'il l'intercepte ? La réponse est oui. C'est la proposition suivante :

En particulier le périmètre d'un cercle de rayon r est égal à 2 × r. En effet, le tour complet représente un angle de 2 radians.

Par exemple, si le cercle a pour rayon et si l'angle mesure radians alors l'arc de cercle mesure .

Pour déclencher les calculs, il suffit de quitter la zone de texte. Utiliser le format AMCA. En cas de problème, consulter .

 

 

2°) Angle orienté de deux vecteurs.

Une autre appellation de l'angle géométrique est . Si pour aller de A en B, le chemin est aussi long que pour se rendre de B en A, il ne s'effectue pas dans le même sens. C'est pour différencier ces deux angles que l'on a oriente les angles.

Un angle pouvant se parcourir dans deux sens (de A vers B ou de B vers A), nous définirons d'abord un sens de parcours que nous dirons positif. Si pour aller de A vers B, le parcours se fait dans ce sens, alors l'angle orienté aura une mesure positive. Sinon elle sera négative.

Quoiqu'il en soit, désignera toujours un angle géométrique. Sa mesure sera donc toujours positive. Lui n'est pas orienté.

Cercle trigonométrique.

Considérons un cercle de rayon 1.

Un cercle trigonométrique est un cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est orienté dans le sens direct (on dit aussi le sens positif).

 

Angle orienté de deux vecteurs unitaires.

Dans ce qui suit, désigne le cercle trigonométrique de centre O. Son rayon est donc égal à 1.

et sont deux vecteurs unitaires. C'est-à-dire deux vecteurs dont la norme est égale à l'unité, à 1. Définissons ce qu'est l'angle orienté ( , ).

On appelle A et B les points du plan défini par = et = .

Comme et sont deux vecteurs dont la norme vaut 1, alors OA = 1 et OB = 1. Autrement écrit, A et B font partie du cercle trigonométrique de centre O.

Une autre appellation de l'angle orienté ( , ) est ( , ). Les mesures de ces deux angles sont égales puisqu'il s'agit là, des deux même angles orientés.

Note : on peut généraliser cette notion d'angle orienté à des vecteurs non unitaires.

Ce qui est intéressant dans les angles orientés, c'est leurs mesures. En effet, elle n'est pas unique. C'est entre autres choses ce qu'illustre l'applette suivante.


Manupulation de ces angles orientés de deux vecteurs.

Les points A et B sont déplaçables à l'aide de la souris. Il suffit de cliquer de dessus et de déplacer le point à l'endroit souhaité. On peut aussi redéfinir la mesure (en radians) de l'angle orienté ( , ).


 

Mesure principale d'un angle.

Un angle peut avoir plusieurs mesures. En effet, sur l'exemple suivant, une mesure de l'angle orienté ( , ) est /3 radians.

Mais on peut aussi aller de A vers B dans le sens négatif. Une autre mesure de cet angle est donc -5 /3.

Regardons ce qu'est cette première mesure par rapport à cette dernière.

Autrement dit, ces deux mesures diffèrent d'un tour, c'est-à-dire de 2 radians. Ce qui se remarque sur la figure car l'une suivie de l'autre donne un tour complet.

Quitte à faire des tours, on peut en faire dans tous les sens ! Ainsi 7 /3 et -17 /3 sont deux autres mesures de l'angle orienté ( , ). En effet :

Reportons toutes ces mesures sur la droite numérique.

Deux mesures d'un même angle diffèrent d'un certain nombre de tours. Elles sont distantes d'un certain nombre de fois 2 .

Dans un intervalle de longueur 2 , il n'y a qu'une seule mesure de l'angle. Par exemple, dans l'intervalle ]-5 ; -3 ] avec -11 /3. Il en va de même dans l'intervalle ]- ; ] avec /3. On dit alors que /3 est la mesure principale de l'angle orienté ( , ).

Généralisons tout cela :

Attention : Si un angle orienté a pour mesure - radians alors sa mesure principale est . En effet - est exclu de l'intervalle ]- ; ].

Par exemple, si une mesure de l'angle orienté est

Pour déclencher les calculs, appuyer sur "alors". Utiliser le format AMCA. En cas de problème, consulter .

Pour voir si deux réels sont deux mesures d'un même angle, une astuce consiste à regarder les mesures principales correspondantes. S'ils ont même mesure principale alors il s'agit de deux mesures d'un même angle.

 

 

3°) Repérage d'un point sur un cercle.

Une droite peut-être orientée à l'aide d'un point appelé origine et d'un vecteur. On dit que ces deux derniers forment un repère de cette première. Tout point de la droite est alors repéré par un réel. <Inclure un lien hypertexte>

De la même façon, tout point d'un cercle peut être reperé au moyen d'un réel.

est un cercle de centre O et de rayon r que l'on oriente dans le sens positif. Soit A est un point de ce cercle. Il va nous servir d'origine. C'est à partir de lui que nous commencerons à "tourner".

Pour tout point M de ce cercle, il existe au moins un réel x tel que l'angle orienté ( , ) ait pour mesure x radians. En fait, il en existe une infinité. Ils sont distants d'un certain nombre de fois 2.

Réciproquement si x est un réel alors il existe un et un seul point M de Cercle tel que mes( , ) = x. On dit alors que le point M est associé au réel x.


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