1°) Repères et bases directs et indirects.
Il va sans dire que les points A et B sont sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
2°) Sinus et cosinus d’un nombre réel.
x est un nombre réel. On note M le point du cercle trigonométrique associé au réel x. C’est-à-dire que c’est l’angle orienté (
, 
) a pour mesure x radians.
Pour manipuler sinus, cosinus et tangente, cliquer sur le bouton ci-dessous.
Autrement dit, M a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)) ou
On appelle P le projeté orthogonale de M sur l’axe des abscisses et Q le projeté sur l’axe des ordonnées.
Remarquons que lorsque x Î
[0 ; 
/2] alors
Ceci car OM = 1. M est en effet un point du cercle trigonométrique.
Autrement dit, cos(x) et sin(x) sont respectivement égaux aux cosinus et cosinus de l’angle géométrique 
.
Cosinus et sinus remarquables.
Les sinus et cosinus de certains réels sont aisément calculables.
Si x = 0 alors le point du cercle trigonométrique associé à x est le point A(1 ; 0). Ainsi :
cos(0) = 1 et sin(0) = 0
Si x =
/2 alors le point du cercle trigonométrique associé à x est B(0 ; 1). Ainsi :
Si x =
alors x est associé à A’(-1 ;0). Ainsi
cos(
) = -1 et sin(
) = 0.
Si x = -
/2 alors x s’associe à B’(0 ;-1). Ainsi :
Si x est un réel alors pour tout entier relatif k, les réels x et x + 2k
sont associés au même point M. En effet ce sont deux mesures de l’angle orienté (
, ).
Ainsi :
Dans le repère (O ; , 
), le point P a pour coordonnées (cos(x) ; 0) et le point Q(0 ; sin(x)).
Comme P est le projeté orthogonal de M sur l’axe (O ; ), le triangle (OPM) est rectangle en P. Le théorème de Pythagore donne alors OP2 + PM2 = 1.
.
En remplaçant, il vient que :
Soit x un nombre réel tel que cos(x) ¹ 0 alors la tangente du réel x est le quotient de son sinus et de son cosinus. On la note :
.
Si on appelle 
la tangente au cercle trigonométrique en A alors le couple (1 ; tan(x)) est les coordonnées du point d’intersection des droites (OM) et
.
Signe du sinus et du cosinus.
Le sinus et le cosinus de tout nombre réel font partie de l’intervalle [-1 ; 1]. Plus précisément, la position de M nous permet d'en savoir plus sur le cosinus et le sinus de x. Ainsi :
Cosinus, sinus et tangente d’angles remarquables.
Il est possible de calculer certains sinus, cosinus et tangente à partir de situations géométriques particulières. Le tableau suivant les récapitule. Pour savoir pourquoi il en est ainsi, cliquer sur la case souhaitée.
On appelle M' le point associé au réel –x. Il a donc pour coordonnées (cos(-x) ; sin (-x)).
M' est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. Ces deux points ont donc des abscisses égales mais des ordonnées opposées. Ainsi :
M est toujours le point du cercle trigonométrique associé au réel x. On note M’ le point associé au réel
/2 – x.
Remarquons qu’alors M’ est le symétrique de M par rapport à la droite d’équation y = x. C'est celle que l'on appelle la première bissectrice du plan. On montre qu'alors l'abscisse du point M' est égale à l'ordonnée de M et que l'abscisse de ce dernier est l'ordonnée de ce premier.
Ainsi :
Intéressons-nous maintenant aux cosinus et sinus de
/2 + x. En utilisant toutes les propriétés que nous venons de voir, nous pouvons écrire que :
Ainsi donc :
Cosinus et sinus de
- x et
+ x.
On appelle M’ le point associé au réel
– x.
On remarque alors que M' est le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées. Ces deux points ont donc des ordonnées égales mais des abscisses opposées. Ainsi :
Intéressons-nous maintenant à
+ x. En utilisant les propriétés précédentes, nous pouvons écrire que :
Ainsi :
L'extra-plus : coordonnées polaires.
Ce dont nous parlerons dans ce paragraphe est largement hors programme. C'est seulement qu'à présent que nous savons beaucoup de choses, il serait stupide de s'arrêter !
Dans le repère orthonormé direct qu'est (O ; , ), tout point M du plan est repéré par ses coordonnées (xM ; yM). On parle de coordonnées cartésiennes. On peut aussi repérer un point à l'aide d'un angle orienté et de sa distance vis-à-vis de l'origine. On parle alors de coordonnées polaires.
Soit donc M un point du plan. On appelle alors M' le point défini par :
Remarquons que M' fait partie du cercle trigonométrique (c'est-à-dire le cercle de centre O et de rayon 1). En effet :
Il existe donc un unique réel a
Î
]-
;
] tel que l'angle orienté ( , ') ait pour mesure a
radians.
Le point M est donc parfaitement repéré par le couple de réels (r , a ) comme il l'est d'ailleurs par le couple (xM ; yM). On parle pour ce premier de coordonnées polaires et pour ce dernier de coordonnées cartésiennes.
La dernière relation vectorielle nous permet enfin d'écrire que :
