1°) Définition de la valeur absolue.

Distance entre deux réels.

La question que nous nous posons est la suivante : Quelle est la distance entre les nombres 2 et 7 ?

Là, il y en a déjà qui se disent : "Quoi qui chante ? Distance entre deux nombres ? Il délire l'autre !"

Il est vrai qu'il s'agit là d'un abus de langage pédagogiquement incorrect. En fait, il faudrait plutôt dire : quelle est la distance entre le point d'abscisse 2 et celui dont l'abscisse est 7 ?

Représentons ces deux nombres sur la DR... qui est la Droite Réelle.

La distance entre les nombres 2 et 7 est la longueur du segment ou du chemin joignant 2 à 7. C'est-à-dire 5.

d(2 , 7) désigne la distance entre les nombres 2 et 7.

Et si maintenant, je vous demandais la distance entre -3 et 4 ?

Là encore, s'impose le recours entre à la DN... qui est la droite numérique. C'est l'autre nom de la droite réelle.

La distance entre -3 et 4 vaut 7. Ceci car pour aller de -3 en 0, on parcourt une distance de 3 unités. Puis pour aller de 0 à 4, on parcourt une distance de 4 unités. Leur somme vaut 7.

Plus généralement quand on a deux réels x et y, la distance entre le premier et le second est le plus grand moins le plus petit.

En clair :

si x < y alors d(x , y) = y - x.

si x y alors d(x , y) = x - y.

Remarquons que la distance entre x et y est égale à la distance entre y et x. Le chemin dans un sens est aussi long que dans l'autre sens.

La distance entre et .

 

Valeur absolue.

Soit x un réel. La valeur absolue du nombre x est la distance entre 0 et x. Cette valeur absolue est notée |x|.

Ainsi |x| = d(0, x) = d(x , 0).

Un conseil : au cas où quelque chose vous semble incompréhensible, revenez toujours à sa définition. En particulier, rappelez-vous toujours qu'une valeur absolue, ce n'est rien d'autre qu'une distance.

En tant que distance, la valeur absolue d'un réel est toujours positive.

Essayons d'exprimer plus simplement cette valeur absolue de x.

1er cas : x est négatif. Si l'on reporte x sur la droite numérique, on a la chose suivante :


La distance entre x et 0 est égale à -x. En effet, en ajoutant -x à x, on tombe sur 0 ! Ainsi |x|= -x.

2nd cas : x est nul.
Si x vaut 0 alors sa valeur absolue est la distance qu'il a par rapport à lui-même. Autrement dit, |x| vaut 0.

3ème cas. x est positif. Si l'on reporte x sur notre DR, il vient la chose suivante :


La distance entre 0 et x est égale à 0. En effet, si l'on rajoute x à 0, on retrouve x ! Ainsi |x|vaut x.

En résumé, il faut retenir que :

Proposition : x est un réel.

Si x est négatif alors |x| = -x.

Si x est nul alors |x| = 0.

Si x est positif alors |x| = x.

La valeur absolue de .

 

Lien entre la distance entre x et y, et la valeur absolue de leur différence.

Proposition : Si x et y sont deux réels alors |x - y| = d(x , y ).


Preuve de cette propriété :

Pour montrer cette propriété, nous distinguerons trois cas :

1er cas : Si x < y alors la distance entre x et y est égale à y - x car y est le plus grand des deux.
De même, comme y est supérieur à x alors x - y est négatif. Donc :

|x - y| = -(x - y) = -x + y = y - x = d(x , y).

2nd cas : Si x = y alors la distance entre les deux lascars est nulle. De même que leur différence !
Ainsi :

|x - y| = |0|= 0 = d(x , y).

3ème cas : Si x > y alors la distance entre x et y est égale à x - y car c'est x qui est le plus grand.
De plus, comme x est supérieur à y, x - y est positif. Donc :

|x - y| = x - y = d(x , y).

Ainsi ce que nous affirmions, était-il donc vrai !


 

 

2°) Principales propriétés de la valeur absolue.

Ces propriétés sont au nombre de 5. Les voici commentées et démontrées.

 

Propriété 1 : Soit x un nombre réel alors |x| = |-x| .

En deux mots, un réel et son opposé ont même valeur absolue. Ceci car les réels x et -x sont situés à même distance de 0. 0 est en quelque sorte le milieu de x et -x.

 

Propriété 2 : Dire que |x| = 0 équivaut à dire que x = 0.

En clair, le seul et unique réel dont la valeur absolue est 0, c'est 0.

La démonstration est évidente car si on a un réel x dont la valeur absolue vaut 0, alors cela signifie que la distance de celui-ci par rapport à 0 est égale à 0...Après, le reste suit...

 

Propriété 3 : x est un réel et r un nombre positif ou nul.

Dire que |x| = r équivaut à dire que x = r ou x = -r.

Cette propriété nous sera utile lorsqu'il s'agira de résoudre certaines équations à l'occasion du quatrième paragraphe.


Preuve de cette propriété :

Dire que |x| = r signifie que le réel x est situé à une distance r de 0. Or quelles sont les deux réels situés à une distance r de 0 ?

C'est bien sûr, r et -r.
Ainsi |x| = r équivaut-il à ce que x = -r ou x = r. Ce qu'on voulait !


 

Propriété 4 : x et y sont deux réels quelconques.

Dire que |x| = |y| équivaut à dire que x = y ou x = -y.

Comme la propriété 3 dont elle est issue, cette propriété sert lors de la résolution de certains types d'équation. Une action que nous constaterons à l'occasion du quatrième paragraphe.

 

Contrairement à ce que certains pouvaient croire, la racine carrée du carré d'un réel n'est pas égale à ce réel mais à la valeur absolue de celui-ci.


Preuve de cette propriété :

Là, trois cas se présentent selon le signe de x.

1er cas : x est négatif. Il est clair qu'alors son opposé -x est positif comme x2 qui est à la fois le carré de x et celui de -x.
Or par définition, la racine d'un nombre est le réel positif dont ce nombre est le carré.
Par conséquent le réel positif -x est la racine du nombre x2.
De plus, comme x est négatif alors |x| = -x.
Ainsi a-t-on bien que :

.

2nd cas : x est nul. A ce moment la racine du carrée est nulle comme la valeur absolue donc no pb !

3ème cas : x est positif. A ce moment-là, la racine carrée du nombre x2 est le réel positif x.
De plus comme x est positif alors |x| = x. D'où l'égalité recherchée.


 

 

3°) Valeur absolue, addition, multiplication et division.

Valeur absolue et addition : l'inégalité triangulaire.

La propriété suivante est ce que l'on appelle l'inégalité triangulaire :

Proposition : Si x et y sont deux réels alors |x + y| |x| + |y|

Preuve de cette propriété.

Vous connaissez sans doute une autre "inégalité triangulaire basée sur des longueurs". Celle-ci nous dit que si A, B et C sont trois points alors AB AC + BC. Nous allons nous en servir.

On appelle A le point de la droite numérique dont l'abscisse est x, B celui dont l'abscisse est -y et C est le point d'abscisse nul. En quelques sortes, on a la chose suivante :

Ainsi comme AB AC + BC, a-t-on en remplaçant que :

d(x , -y) d(x , 0) + d(-y , 0)

Avec ce que nous avons vu, nous pouvons affirmer que :
d(x , -y) = |x - (-y)| = |x + y| ceci grâce à la propriété vue au premier paragraphe liant la valeur absolue à la distance.
d(x , 0) = |x| par définition.
d(-y , 0) = |-y| = |y| ceci grâce à la propriété 1 du second paragraphe.

Si on remplace, il vient alors :

|x + y| |x| + |y|

Autrement dit, ce qu'on voulait !


Quelques remarques :

Il y a égalité lorsque les réels x et y ont même signe.

On peut modifier l'inégalité triangulaire en remplaçant y par -y. On a alors que :

|x - y| |x| + |y|

 

Valeur absolue et multiplication.

Proposition : Si x et y sont deux réels quelconques alors |x.y| = |x|.|y|.

Autrement dit, la valeur absolue du produit, c'est le produit des valeurs absolues.


Preuve de cette propriété :

Pour montrer cette propriété, nous allons dresser deux tableaux afin de rationaliser le travail à accomplir. Dans chacun des deux tableaux, seront abordés les mêmes cas. Ces cas sont les signes de x et y.

Le tableau suivant représente l'expression de |x.y| en fonction de x et de y selon les signes de ces derniers.

|x.y|

y < 0

y = 0

y >0

x < 0

x.y car le produit x.y est positif.

0

-x.y car le produit x.y est négatif.

x = 0

0

0

0

x >0

-x.y car le produit x.y est négatif.

0

x.y car le produit x.y est positif.

Le tableau suivant représente l'expression de |x|.|y| en fonction de x et y selon les signes de ces derniers.

|x|.|y|

y < 0

y = 0

y > 0

x < 0

x.y car |x| = -x
et |y| = -y.

0

-x.y car |x| = -x
et |y| = y.

x = 0

0

0

0

x > 0

-x.y car | x| = x
et |y| = -y.

0

x.y car |x| = x
et |y| = y.

Les résultats de ces deux tableaux étant identiques, nous pouvons affirmer que la valeur absolue du produit est bien égale au produit des valeurs absolues.


 

Extension : valeur absolue et division.

Il existe une propriété analogue faisant intervenir la division.

Proposition :

Autrement dit, la valeur absolue du quotient est égale au quotient des valeurs absolues.Cette propriété se montre comme la précédente : avec deux tableaux...Mais nous ferons différemment !


La preuve de cette propriété :

La démonstration s'appuie sur la propriété 5 et sur les dons de la racine carrée...


Avec au passage un double merci à la propriété 5. A noter que la propriété précédente qui concerne la valeur absolue peut être démontrée de la même manière : en recourant à la propriété 5.


 

 

4°) Résolution de certaines équations.

Les trois exemples qui suivent, sont des résolutions de base. Avec elles, toutes les équations comportant des valeurs absolues peuvent être résolues. A vous de vous en inspirer afin de résoudre vos propres équations.

 

Première mission : résoudre l'équation |x - 3| = 5.

La troisième propriété du second paragraphe va nous permettre de résoudre cette équation. Le x de la propriété vaut x - 3 et le r vaut 5. En effet grâce à elle, nous pouvons affirmer que cette équation équivaut à :

x - 3 = -5 ou x - 3 = 5

x = -5 + 3 ou x = 5 + 3

x = -2 ou x = 8.

Les deux solutions de cette équation sont donc -2 et 8. Ce que l'on résume par :

S = {-2 , 8}.
Comprenez : l'ensemble des solutions S est formé des réels -2 et 8.

 

Seconde mission : résoudre l'équation |2x - 1| = -8.

Surtout ne recourez pas à la propriété 3. Celle-ci n'est valable que pour un r positif ou nul.
Posez-vous plutôt la question : qu'a de particulier le signe d'une valeur absolue ?
Retenez qu'il est toujours positif ou nul. La valeur absolue est une distance...

Cette équation n'admet aucune solution. On note cela

S = Ø.
L'ensemble des solutions est l'ensemble vide. C'est ce que symbolise ce o barré.

 

Troisième mission : résoudre l'équation |x - 2| = |2.x + 3| .

Là, c'est la quatrième propriété du second paragraphe qui va nous aider. Le x de la propriété est égal à x - 2 alors que le y vaut 2.x + 3.

L'équation équivaut donc à :

x - 2 = -(2.x + 3) ou x - 2 = 2.x + 3

x - 2 = -2.x - 3 ou x - 2 = 2.x + 3

x + 2.x = -3 + 2 ou x - 2.x = 3 + 2

3.x = -1 ou -x = 5

x = -1/3 ou x = -5

Les deux solutions de l'équation sont donc les réels -1/3 et -5. Autrement écrit :

S = {-5 , -1/3}.

 

Quatrième mission : résoudre l'équation |(x - 3).(x + 2)| = 0.

Nous avons déjà eu l'occasion de résoudre des équations reposant sur des produits à l'occasion de la page "des choses au sujet des équations".
Vous l'aurez sûrement remarqué : nous sommes face à un produit et une valeur absolue. Je suis certain que vous voyez déjà la propriété que nous allons sollicitée :

"La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues."
Ainsi l'équation équivaut donc à :

|x - 3| . |x + 2| = 0.

Il s'agit là d'un produit de deux réels. Or nous l'avons écrit et répété : un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. L'équation équivaut encore à :

|x - 3| = 0 ou |x + 2| = 0.

Là, c'est la propriété 1 du second paragraphe qui va nous sortir d'affaire. En effet, le seul réel qui a une valeur absolue nulle est 0.

Ainsi dire que |x - 3| = 0 équivaut à dire que x - 3 = 0. Pareil pour l'autre !

L'équation équivaut donc encore à :

x - 3 = 0 ou x + 2 = 0

x = 3 ou x = -2

Les deux solutions de cette équation sont donc -2 et 3.

 

Cinquième mission : résolution grâce à la valeur absolue de l'équation

On pourrait croire que cette équation n'a rien à faire dans cette page consacrée à la valeur absolue...Erreur car cette équation n'est pas une si lointaine cousine de celles que nous venons de voir. En effet, la propriété 5 nous permet d'écrire que :

Ainsi la résoudre, c'est en fait résoudre l'équation |3x - 4| = 3. Et ça, nous savons faire !

Pour note, les solutions de cette équation sont 1/3 et 7/3.

 

Dernière mission : résoudre l'équation |2x + 3| +|(x - 7)× (2x + 3)| = 0.

Cette équation peut être résolue de deux manières : soit par factorisation, soit en réfléchissant un peu sur la forme de cette équation.

1ère méthode : par factorisation.

Grâce à ce que nous savons sur la valeur absolue du produit, la première équation s'écrit également :

|2x + 3| +|x - 7| × |2x + 3| = 0

Là, nous allons procéder à une factorisation. Mais attention, contrairement à ce que l'on pourrait croire, le facteur commun n'est pas 2x + 3 mais | 2x + 3| . Ainsi :

Or un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Ainsi :

|2x + 3| = 0 ou 1 + |x - 7| = 0

La propriété 2 nous permet alors d'avancer avec la première équation.

2x + 3 = 0 ou |x - 7| = -1

Il semble n'y avoir aucun problème avec la première équation. Par contre avec la seconde, cela s'annonce plus difficile !

Cherchons à interpréter différemment la seconde équation : une valeur absolue (celle de x - 7) est égale à un nombre négatif (en l'occurrence -1). Or une valeur absolue n'est jamais négative (c'est une distance). La seconde équation n'admet donc aucune solution.

Si l'on continue notre résolution, il vient donc que :

x = -3 / 2 = -1,5 ou pas de solution.

L'ensemble des solutions est donc {1,5}. Ce qui symboliquement se note :

S = {-1,5}.

2nde méthode : en réfléchissant un peu...

L'équation est :

|2x + 3| +|(x - 7)× (2x + 3)| = 0

Notre réflexion est double. D'abord une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Le premier membre de cette équation est une somme de deux termes positifs ou nuls.

Or quand une somme de deux nombres positifs ou nuls est-elle égale à 0 ? Lorsque les deux nombres sont positifs. Par suite, l'équation précédente équivaut à :

|2x + 3| = 0 et |(x - 7)× (2x + 3)| = 0

"et" car les deux nombres (à savoir |2x + 3| et |(x - 7)× (2x + 3)|) doivent être nuls.

En appliquant la propriété 2 aux deux sous-équations, les cieux se dégagent encore plus...

2x + 3 = 0 et (x - 7)× (2x + 3) = 0

A présent, il ne reste plus qu'à conclure.

Pour qu'un réel soit solution de l'équation |2x + 3| +|(x - 7)× (2x + 3)| = 0, il faut et suffit qu'il soit à la fois solution de l'équation |2x + 3| = 0 et de l'équation |(x - 7)× (2x + 3)| = 0.

Or dans le présent cas, seul -1,5 est à la fois solution de |2x + 3| = 0 et de |(x - 7)× (2x + 3)| = 0.

La seule solution de l'équation |2x + 3| +|(x - 7)× (2x + 3)| = 0 est donc -1,5. Ce qui se résume par :

S = {-1,5}.

 

 

5°) Résolution de certaines inéquations.

Première mission : résoudre l'inéquation |x - 3| < 2 par une première méthode.

Rappelez-vous ce qu'on vous disait au premier paragraphe : "une valeur absolue, ce n'est rien d'autre qu'une distance entre un réel et 0 !".

Cette inéquation peut aussi s'écrire : d(x - 3 , 0) < 2.

Or les réels dont la distance à 0 est strictement inférieure à 2 sont ceux qui sont compris strictement entre -2 et 2.

L'inéquation peut donc aussi s'écrire : -2 < x - 3 < 2

A partir de là, on retombe sur une double inéquation que l'on sait résoudre.

On ajoute 3 à tous les membres de l'inéquation. Ainsi :

-2 + 3 < x - 3 < 2 + 3

1 < x < 5.

L'ensemble des réels solutions de l'inéquation est donc l'ensemble des réels compris strictement entre 1 et 5. Il s'agit donc de l'intervalle ]1 ; 5[.

 

Seconde mission : résoudre l'inéquation |x - 3| < 2 par une seconde méthode.

Là encore, nous allons ramener la valeur absolue à ce qu'elle est : une distance

En particulier, nous avons vu que |x - y| = d(x , y). Appliquons cette formule à notre inéquation.

L'inéquation précédente s'écrit aussi : d(x , 3) < 2.

Résoudre l'inéquation |x - 3| < 2 revient donc à chercher tous les réels dont la distance au réel 3 est inférieure à 2. Représentons cela sur la droite numérique.

Les réels dont la distance à 3 est strictement inférieure à 2 sont ceux strictement compris entre 1 et 5. Sur le dessin, ils sont représentés en rouge.

L'ensemble des solutions est donc l'intervalle ouvert ]1 ; 5[.

 

Troisième mission : résoudre l'inéquation |3.x - 2| < 2 par la première méthode.

Le réel 3.x - 2 se trouve à moins de 2 unité du réel 0. Il est donc compris strictement entre -2 et 2.

Cette inéquation équivaut à la double inéquation suivante :

-2 < 3.x - 2 < 2

On entre alors dans le cadre d'une résolution normale d'inéquation.

On ajoute 2 aux trois membres pour faire disparaître le terme -2 dans le membre central. D'où

-2 + 2 < 3.x - 2 + 2 < 2 + 2

0 < 3.x < 4

On multiplie les trois membres par 1/3. Ce qui fera disparaître le coefficient 3 dans le membre central. A noter que si l'on avait multiplié par un réel négatif, l'ordre aurait alors changé.

L'ensemble des réels solutions de l'inéquation est donc l'intervalle ouvert ]0 ; 4/3[.

 

Quatrième mission : résoudre l'inéquation |-2.x - 3| 4 par la seconde méthode.

Nous avons vu que la valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues. Nous allons appliquer cette propriété.

Dans le premier membre et entre les barres de valeur absolue, on factorise par -2.

A cet instant, on multiplie les deux membres de l'inégalité par 1/2. Celui-ci étant positif, l'ordre est conservé.

Là, notre travail est presque terminé. Il ne reste plus qu'à user d'un petit artifice.

d(x , -3/2) 2

Les réels x solutions de l'inéquation sont donc ceux dont la distance à -3/2 est inférieure ou égale à 2. En clair, il s'agit de ceux compris entre les réels -3/2 - 2 et -3/2 + 2 c'est-à-dire -7/2 et 1/2.

L'ensemble des solutions de notre inéquation est donc l'intervalle fermé [-7/2 ; 1/2].

 

Dernière mission : résoudre l'inéquation : |x - 2| > 3.

On va procéder comme dans le cas de la seconde méthode. En effet |x - 2| est aussi la distance qui sépare x de 2.

Ainsi résoudre cette inéquation revient-il à chercher l'ensemble des réels dont la distance à 2 est strictement supérieure à 3. Reportons sur la droite numérique ces différentes données.

Sur la droite numérique, les réels concernés sont représentés en rouge.

Les réels dont la distance à 2 est strictement supérieure à 3 sont ceux qui sont strictement inférieurs à -1 (il s'agit de l'intervalle ]- ; -1[ ) et ceux qui sont strictement supérieurs à 5 ( il s'agit de l'intervalle ]5 ; + [ ).

L'ensemble des solutions est donc la réunion de ces deux intervalles (car sont concernés les éléments de l'un et les éléments de l'autre).

Ainsi S = ]- ; -1[ ]5 ; + [.


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