La méthode de factorisation par identification est la méthode des paresseux et des cancres, de ceux qui n'ont rien retenus ou de ceux qui ne le veulent pas !
Voyons un exemple d'application sur un exemple !

On considère le polynôme f défini pour tout réel x par :

Une racine de ce polynôme f est le réel a = -1.
Donc il existe un polynôme g tel que pour tout réel x   f(x) = (x + 1) . g(x).
Déterminons ce polynôme g au moyen de la méthode par identification.

Comme f est un polynôme du quatrième degré alors g en est un du troisième. Donc g est de la forme :

La seule chose que nous connaissions sur le polynôme g est que pour réel x :

Développons le second membre de cette égalité.

Comme les polynômes   f   et   (x + 1) . g(x)   sont égaux alors leurs coefficients le sont aussi !
Ainsi :

3.x⁴ + (-1).x³ + (1).x² + 11.x + 6   =   a.x⁴ + (b + a).x³ + (c + b).x² + (d + c).x + d

Exploitons ces cinq équations :

• La première (celle découlant de x⁴) nous donne que : a = 3 
• La seconde (celle découlant de x³) va nous donner le coefficient b : -1 = b + a   équivaut à   b = (-1) - a = (-1) - 3 = -4 
• La troisième (celle découlant de x²) va nous livrer le coefficient c : 1 = c + b   équivaut à   c = 1 - b = 1 - (-4) = 5 
• La quatrième (celle découlant de x¹) va faire tomber le coefficient d : 1 = d + c   équivaut à   d = 11 - c = 11 - 5 = 6 
• Quant à la dernière équation (celle découlant de x⁰), elle permet de contrôler nos calculs.
  En effet, elle nous dit que d est égal 6. Comme c'est ce que nous avons trouvé, cela indique qu'ils sont à priori justes !

Note : la méthode de Horner peut être vue comme étant la version automatisée de cette méthode par identification des coefficients.