Les fonctions rationnelles sont aux polynômes ce que les fractions sont aux entiers : un quotient.

Définition.

Comme pour toute fraction, le haut (le polynôme P) s'appelle le numérateur et le bas (le polynôme Q) le dénominateur.
Le degré d'une fonction rationnelle est égal à la différence du degré du numérateur et de celui du dénominateur.

Sont par exemple des fonctions rationnelles :

• La fonction f définie pour tout x par : Le degré de la fonction rationnelle f est égal à 2 - 1 = 1.
• La fonction g définie pour tout x par : Le degré de la fonction rationnelle g est égal à 2 - 2 = 0.
• La fonction h définie pour tout x par : Certains objecteront que cela n'est pas un quotient mais la somme de deux quotients.
  C'est à priori vrai sauf que la somme de deux fonctions rationnelles donne une autre fontion rationnelle. En effet : Le degré de h est égal à 0.

De la même façon que tous les entiers sont des fractions, tous les polynômes sont des fonctions rationnelles.

A l'instar de ce qui se fait pour les fractions, les fonctions rationnelles peuvent être additionnées, multipliées et même divisées. A chaque fois, le résultat est une autre fonction rationnelle.
Rappelons qu'on ne peut pas toujours diviser un polynôme par un autre. Une particularité que l'on retrouve aussi chez les entiers !

Ensemble de définition.
Contrairement aux polynômes, l'ensemble des fonctions rationnelles n'est pas nécessairement R.
En effet :

Une fraction existe   si et seulement si   son dénominateur est non nul.

Voyons ce qu'il en est avec nos trois exemples

• Avec la fonction f qui est définie par : Le dénominateur de la fonction rationnellle f est égal à   x + 3.

  f(x) n'existe pas

  équivaut à   x + 3 = 0 équivaut à   x = -3

  Tous les réels à l'exception de -3 ont donc une image par f. Ainsi : D_f = ]-¥ ; -3[ È ]-3 ; +¥[.
  Il y a donc un trou dans l'ensemble de définition de la fonction rationnelle f.
   
   
• La fonction g définie pour tout x par : Le dénominateur de la fonction rationnellle g est égal à   x² + 1.

  g(x) n'existe pas  équivaut à   x² + 1 = 0

  En tant que somme de deux réels positifs dont l'un l'est strictement, x² + 1 est donc toujours strictement positif. Il ne peut donc en aucun cas être égal à 0.

  Tous les réels ont donc une image par g. Ainsi :

  D_g = ]-¥ ; +¥[.
  Il n'y a pas de trou dans l'ensemble de définition de la fonction rationnelle g.
   
   
• La fonction h définie pour tout x par : Le dénominateur de la fonction rationnellle h est égal à   (x + 3) . (x - 1).

  h(x) n'existe pas

  équivaut à   (x + 3) . (x - 1) = 0 équivaut à   x + 3 = 0   ou   x - 1 = 0. équivaut à   x= -3   ou   x = 1.

  Tous les réels à l'exception de -3 et 1 ont donc une image par h. Ainsi : D_h = ]-¥ ; -3[ È ]-3 ; 1[ È ]1 ; +¥[.
  Il y a donc deux trous dans l'ensemble de définition de la fonction rationnelle h.
   

  Examinons la courbe représentative de h. Aux voisinages de -3 et de 1, la courbe de h "s'envole" ou "s'enfonce" vers les infinis. On dit alors que -3 et 1 sont des pôles de la fonction rationnelle h. Les pôles d'une fraction rationnelle sont en règle générale les racines du dénominateur...

  
   

Sans trop caricaturer, on peut dire que l'ensemble de définition de définition d'une fonction rationnelle est R moins quelques réels.

Il existe des fonctions rationnelles qui ne s'envolent pas vers les infinis à l'approche d'un point où elles ne sont pas définies. Mais peut-être est-ce simplement parce qu'elles peuvent l'être... en prolongeant. La vérité est au bout de votre souris...

Décomposition d'une fonction rationnelle.
Par définition, une fonction rationnelle est une fraction ou un quotient de deux polynômes.
Pour certaines tâches comme la recherche de limite ou de primitive, il est parfois nécessaire de modifier l'écriture d'une fraction rationnelle.
D'un quotient, on cherche à passer à une somme de polynôme et de fractions simples. C'est ce que l'on appelle la décomposition.

L'étude générale de la décomposition d'une fonction rationnelle est largement hors de portée de la Terminale. Nous nous bornerons à l'étude de quelques exemples simples.

Intéressons-nous au premier exemple, à la fonction rationnelle f qui y est définie pour tout x par :

Trois méthodes permettent de décomposer cette fraction rationnelle f :

      par identification
      en faisant apparaître le dénominateur dans le numérateur
      en utilisant la division euclidienne

On peut donc écrire que pour tout x :

Quant aux fonctions rationnelles g et h, leurs formes décomposées sont :

Toute fonction rationnelle peut être décomposée en éléments simples. Seulement plus les fonctions sont compliqués et plus les calculs sont difficiles. Pour tout savoir sur ces choses et la manière dont elles se goupillent, cliquer. Car la vérité est au bout de votre souris...

Utilité de la décomposition d'une fonction rationnelle.
Une des utilisations de la décomposition des fonctions rationnelles est la recherche de primitives et le calcul de certaines intégrales.
Voyons ce qu'il en est avec les fonctions rationnelles f, g et h.
Rappelons les formes originelles de celles-ci :

Par contre, avec leurs formes décomposées respectives, la chose est différente :

• Avec la fonction f. On sait que : Une primitive de cette fonction est la fonction F définie par :
• Avec la fonction g. On sait que : Une primitive de cette fonction est la fonction G définie par :
• Avec la fonction h. On sait que : Une primitive de cette fonction est la fonction H définie par :

Il existe d'autres utilisations possibles de la décomposition en éléments simples de fonctions rationnelles. Sauf qu'à la différence de la recherche de primitives, elles se situent au-delà du Lycée...