La première partie nous a vu avancer. Suffisamment pour que nous posions la question de savoir ce qui est utile au lycée. C'est l'objet de cette page et de son unique paragraphe

  

Que retenir du produit scalaire ?
Nous avons dit, défini, énoncé et démontré pas mal de choses à propos du produit scalaire. Mais de toute cette abondance, que faut-il retenir ? Qu'est-ce qui est réellement utile ?
Nous allons répondre à ces deux questions qui n'en qu'une seule dans ce paragraphe.

La première chose à dire est que l'on restreint généralement l'étude et l'usage du produit scalaire au plan. En effet, le produit scalaire concerne avant tout deux vecteurs et comme nous l'avons vu, deux vecteurs peuvent toujours être ramenés dans un même plan.

Second point : qu'est-ce qu'un produit scalaire ?
Du point de vue d'un lycéen aussi brillant qu'il soit, l'idée d'une forme bilinéaire symétrique définie et positive est une chose abstraite et lointaine.
Ce qu'il faut savoir et retenir du produit scalaire sont ses diverses expressions. Rappelons-les !

Les quatre visages du produit scalaire
Notre définition

Dans un repère orthonormé
 
Si (x ; y ; z)  et  (x' ; y' ; z') alors 
. = x.x' + y.y' + z.z'
En utilisant l'angle des deux vecteurs

 
. = . . cos( , )
En utilisant la mesure algébrique
 

 

Suivant les situations, un visage peut s'affirmer être plus avantageux que les autres.

Parmi les propriétés, une seule est réellement intéressante : c'est celle caractérisant l'orthogonalité de deux vecteurs.

Théorème caractérisant l'orthogonalité de deux vecteurs.
Dire que deux vecteurs et sont orthogonaux  équivaut à dire que   . = 0

Et puis, parmi les propriétés à retenir il y a celles qui suivent.

Propriétés principales du produit scalaire. 
  • Norme/produit scalaire : pour tout vecteur ,  2 =  . = 2.
  • Distributivité : si , et sont deux vecteurs  alors   . ( + ) = . + .
  • Produit avec un réel : si a est un réel et , deux vecteurs  alors   (a.) . = a . (.)
 
Précision : de la même façon que x2 est le produit de x par lui-même, la notation 2 signifie "produit scalaire de par lui-même".

A présent, nous allons pouvoir répondre à la question : quand emploie-t-on ce damné produit scalaire ?
Le produit scalaire peut servir à démontrer des propriétés relatives à des choses que nous manipulons depuis notre plus tendre enfance. Voyons-en quelques exemples !

Identités remarquables (Remix par DJ scalaire !)

Cela peut paraître étonnant mais les identités remarquables sont aussi l'apanage du produit scalaire. Les réels ne sont plus les seuls à y avoir droit !
Nous allons établir les trois principales, celles qui nous sont familières.

  • Le carré d'une somme.
    ( + )2 = ( + ) . ( + ) = . + . + . + . = 2 + 2 . . + 2 
     
  • Le carré d'une différence.
    ( - )2 = ( - ) . ( - ) = . - . - . + . = 2 - 2 . . + 2
     
  • Le produit d'une somme et d'une différence.
    ( + ) . ( - ) = . - . + . - . = 2 - 2
Le théorème de la médiane

Ce nouvel outil qu'est le produit scalaire permet de démontrer de manière efficace de classiques théorèmes : parmi eux, celui de la médiane.

La situation est la suivante :
I est le milieu du segment [AB]. M est un point quelconque du plan
Le but : simplifier l'écriture de  MA2 + MB2.

On peut écrire que : 
MA2 + MB2  = 2 + 2 = ( + 2 + ( + 2
= 2 + 2. . + 2 + 2 + 2. . + 2 
= 2 . 2 + 2 + 2 + 2. . ( + )
= 2 . 2 + 2 + 2 + 2. .
= 2 . MI2 + IA2 + IB2
= 2 . MI2 +

D'où le théorème tant attendu !

Théorème de la médiane.
Si I est le milieu du segment [AB] alors pour tout point M du plan ou ou de l'espace :

Note : Le produit scalaire nous a permis de faire une démonstration assez rapide. Plus en tout cas que si nous avions dû passer par la géométrie classique. C'est dire la puissance de l'outil et donc son utilité...

Le théorème d'Al Kashi ou Pythagore généralisé

Un autre exemple d'utilisation du produit scalaire au bénéfice de la géométrie classique est le théorème d'Al Kashi. Cet énoncé dû au mathématicien arabe du même nom établit une relation entre un angle et les trois côtés d'un triangle. Tout cela grâce au produit scalaire !

ABC est un triangle quelconque.
Nous allons établir une relation entre les longueurs des trois côtés et la mesure de l'angle géométrique .
a est la longueur du côté BC, b celle de AC et c celle de AB.

Nous pouvons écrire que :
BC2 = 2 = ( + )2
= 2 + 2 . . + 2
= BA2 + 2 . BA . AC . cos( - ) + AC2
= BA2 - 2 . BA . AC . cos() + AC2

En remplaçant, les côtés par les nombres , on obtient alors le théorème tant recherché.

Théorème d'Al Kashi ou de Pythagore généralisé.
Si ABC est un triangle dans lequel  a = BC,  b = AC  et  c = AB   alors :

a2 =  b2 + c2 - 2.b.c. cos()

Désormais, même hors des triangles rectangles, il sera toujours possible d'obtenir le troisième côté connaissant un angle et deux autres côtés.
Ce théorème peut se démontrer de manière classique en allant chercher une hauteur. Mais l'aventure est assez périlleuse ! Ici tout a été simple grâce à celui que nous étudions. Alors remercions le ! 

Le produit scalaire sert donc à prouver efficacement des théorèmes. Il est aussi un instrument de torture aussi subtil que sournois. Voici un exemple classique d'exercice dans lequel on le retrouve.

L'énoncé de ce classique exercice.
A et B sont deux points distincts du plan. k est un réel.
Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que  . = k.
 
La solution de ce classique exercice
Cet énoncé peut sembler insoluble. Pourtant comme des milliers de bipèdes cérébrés qui nous ont précédés sur la difficulté, nous allons la franchir. Et la lumière va venir du milieu !

Appelons I le milieu du segment [AB]. Nous savons qu'alors  + = .
Nous allons nous servir de cette remarque. De façon à éclaircir la situation, modifions l'écriture qui nous est proposée.

M fait partie de l'ensemble E   .  = k
( + ) . ( + ) = k
2 + . ( + ) + . = k 
2 + . - = k 

Ainsi donc, E est aussi l'ensemble des points M tels que  MI2 = k + .
Vous me direz : "C'est bien beau mais concrètement ça signifie quoi ?".
Géométriquement, cela peut signifier plusieurs choses. Tout dépend en fait de la valeur du réel k.

  • Si  k < -  alors  le carré de la distance MI est égal à un nombre négatif.
    Ce n'est pas possible. Il n'existe aucun point M qui soit dans ce cas.
    Conclusion : E = ø.
      
  • Si  k = -  alors  il advient que MI2 = 0.
    Les points M et I sont donc nécessairement confondus. 
    Conclusion : E = {I}.
     
  • Si  k > -  alors  MI2 est égal à un réel positif.
    Tous les points M doivent donc se trouver à une distance du point I. 
    Conclusion : E est le cercle de centre I et de rayon .
    En particulier, lorsque k est nul alors, E est le cercle de diamètre [AB]. Ce qui n'est pas étonnant !
    En effet, dire que le produit scalaire .  est nul équivaut à dire que le triangle ABM est rectangle en M donc inscrit dans un cercle de diamètre [AB]. 

Il existe bien d'autres exercices où le produit scalaire est l'acteur principal. Mais tout ceci demeurera pour nous une autre histoire...

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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