L'étude des similitudes du plan est une exclusivité du programme de Terminale S/Spécialité. Il se peut qu'il existe des petites différences entre la manière dont elle est envisagée par les programmes officiels et par votre dévoué serviteur. Encore une fois, il y aura deux façons de faire les choses : la bonne et la mienne.

La conquête d'un empire oublié...

A propos des similitudes
Après avoir parcouru du nord au sud, d'est en ouest et de gauche à droite le pays des isométries du plan, nous voici arriver dans l'empire des similitudes du plan. Pour être honnête, nous y étions déjà car le pays des isométries est une des nombreuses régions de cet éternel empire. Mais au fait, qui sont ces similitudes ?
A l'instar des isométries, les similitudes sont des transformations du plan, c'est-à-dire des applications bijectives du plan dans lui-même. De notre point de vue, la définition d'une similitude est la suivante :

Autrement écrit, est une similitude toute application bijective qui multiplie toutes les distances par un même réel k.
Bien sûr, pour que tout cela est un sens, il faut (et il suffit) que le rapport d'agrandissement ou de réduction k soit strictement positif.

Une isométrie est une transformation conserve les distances. C'est une similitude de rapport 1.
D'autres similitudes que nous connaissons déjà, sont les homothéties. Plus précisément, une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.

Comme toutes les autres transformations du plan, les similitudes peuvent être composées. Composons deux d'entres elles : les similitudes f et g de rapports respectifs k et k'.
La situation de leur composée gf est la suivante :

Les similitudes sont des transformations. A l'exemple des isométries, elles admettent des réciproques.
Essayons d'expliciter ce qu'est la réciproque g d'une similitude f de rapport k. Nous savons déjà que c'est une transformation ! Mais n'est-elle pas mieux ? La situation la concernant est la suivante :

Le groupe des similitudes du plan Ainsi que nous venons de le voir, l'ensemble des similitudes du plan présente les mêmes propriétés que celui des isométries : L'identité (c'est-à-dire l'élément neutre pour la composition) est une similitude (de rapport 1). D'un point de vue opératoire : Pour toute similitude f, nous avons fId = Idf = f. La composée de deux similitudes est une autre similitude. Toute similitude f admet une similitude inverse g (c'est-à-dire une réciproque). D'un point de vue opératoire : pour toute similitude f, il existe une similitude g telle que : fg = gf = Id. Et réciproquement ! Comme celui des isométries qu'il contient, l'ensemble de similitudes est un groupe pour l'opération de composition .

Tous ces points communs existant entre les isométries et les similitudes nous conduisent vers la même ambition : les connaître dans le détail ! Nous allons essayer de dévoiler le secret des similitudes.

Le secret des similitudes
Qui sont ces similitudes ? Voilà la question à laquelle nous allons tacher de répondre.

Il est clair que la composée d'une isométrie i et d'une homothétie h de rapport k est une similitude f de rapport  |k|. Ceci car la situation est alors la suivante :

Réciproquement, il est légitime de se demander si toute similitude ne serait pas la composée d'une isométrie et d'une homothétie.

Soit f une similitude de rapport k où k est un réel strictement positif.
Les homothéties de rapport , ce n'est pas ce qui manque. Il en existe une par point. Nous jetons notre dévolu sur une homothétie h de centre A (qui est un point quelconque) et de rapport .
Intéressons-nous à la composée hf. Pour ce couple, la situation est la suivante :

Autrement écrit, la composée hf est une isométrie (une similitude de rapport 1). Appelons i cette isométrie.
Cette découverte est très intéressante car des espèces d'isométries, il n'en existe que quatre : les translations, les rotations, les symétries axiales (aussi appelées réflexions) et les symétries glissées.

Comme toutes les similitudes, toute homothétie admet une réciproque.
Si l'homothétie h a pour centre A et rapport alors sa réciproque est l'homothétie de même centre et de rapport k. Ceci car :

h(M) = M' = . = k. M est l'image de M par l'homothétie de centre A et de rapport k

Nous notons cette homothétie réciproque h^-1 de centre A et de rapport k.

Revenons à nos moutons ou plutôt à nos transformations. Evoluant, la précédente situation est devenue :

La similitude f peut donc être vue comme étant la composée d'une isométrie i et d'une homothétie h^-1 de rapport k.
Cette découverte n'a l'air de rien. Pourtant c'est à partir d'elle que tout va se faire !

 
Les propriétés des similitudes
En tant que composée d'une isométrie et d'une homothétie, la similitude hérite de ses deux aînées certaines de leurs propriétés :

• La similitude conserve l'alignement : l'image d'une droite est une autre droite, l'image d'un segment est un autre segment.
• La similitude conserve les angles géométriques, donc le parallélisme et l'orthogonalité.
  Pour ce qui est des angles orientés, nous allons en reparler...
• La similitude de rapport k multiplie les distances par k et les aires par k². Elle hérite cette propriété de l'homothétie.
  L'image d'un cercle est un autre cercle de rayon multiplié par k.

Voilà quelles sont les principales propriétés des similitudes. A présent, nous allons revenir sur ce qu'il advient des angles orientés. C'est d'ailleurs par leur intermédiaire que nous allons essayer de mieux connaître les similitudes.

 
Vers les similitudes directes et indirectes
Le pays des isométries n'a plus aucun secret pour nous. Globalement, nous savons qu'il se divise en deux :

• D'un côté, il y a les isométries qui conservent les angles orientés. On les appelle déplacements. Ce sont les translations et les rotations.
• De l'autre, il y a celles qui les changent en leurs opposés. Elles sont qualifiées d'antidéplacements. Ce sont les symétries axiales et les symétries glissées.

Une homothétie est une transformation du plan qui conserve les angles orientés. Par conséquent, pour une similitude deux situations peuvent se présenter :

• La similitude est la composée d'un déplacement et d'une homothétie. La situation est la suivante :
  
  La similitude qui résulte de cette composée conserve les angles orientés : elle est dite directe.
   
• La similitude est la composée d'un antidéplacement et d'une homothétie. La situation est la suivante :
  
  La similitude résultant de cette composée inverse les angles orientés : elle est dite indirecte.

Il existe donc deux espèces de similitudes. Nous allons les étudier séparément à partir de ce que nous savons sur les isométries.

Les similitudes directes
Une similitude directe conserve les angles orientés. Elle peut être vue comme étant la composée d'une déplacement (translation ou rotation) et d'une homothétie.
Commençons par essayer de lui trouver une expression complexe. Un peu à la manière de ce qui a été fait avec les isométries.

L'expression complexe d'une similitude directe
Nous supposons le plan muni d'un repère orthonormé. C'est dans ce dernier que nous allons travailler. Par la suite, toute manoeuvre impliquant les nombres complexes se déroulera nécessairement dans un tel repère même si cela n'est pas explicitement dit !

Soit f une similitude directe de rapport k. Elle est la composée d'un déplacement g et d'une homothétie h de rapport k.

Une expression complexe du déplacement g est :  g(z) = a.z + b  où a est un nombre complexe de module 1 et b un complexe quelconque.

Par contre, nous ne connaissons pas d'expression complexe de l'homothétie h de centre C et de rapport k. Qu'à cela ne tienne, nous allons la déterminer !

Dire que le point M' d'affixe z' est l'image de M d'affixe z par h signifie que : = k..
En termes complexes et si c désigne l'affixe du centre C, cette très vectorielle égalité se traduit par :

Donc l'homothétie h a une expression complexe de la forme :

h(z) = k.z + d 

où k est le rapport de l'homothétie (donc un nombre réel non nul) et d est un nombre complexe quelconque.

Réciproquement, on prouve sans trop de difficulté qu'une application complexe  h(z) = k.z + d  où k est un nombre réel différent de 1 est géométriquement une homothétie de centre C d'affixe et de rapport k.

Ayant dit cela, nous pouvons en revenir à notre similitude directe f. Pour tout point M d'affixe z, nous avons :

f(z) = hg(z) = h(a.z + b) = k.a.z + k.b + d = a'.z + b'

en posant a' = k.a  et  b' = k.b + d.

Réciproquement, il est légitime de se demander si une application complexe  f(z) = a.z + b  ayant son coefficient a non nul ne serait pas géométriquement une similitude directe.
Pour le savoir, il n'y a qu'une seule possibilité : il faut modifier f(z) de façon à faire apparaître le déplacement et l'homothétie. C'est ce qui suit :

Comme le complexe a pour module 1 alors l'application complexe  d(z) = .z +   est géométriquement une translation ou une rotation : c'est-à-dire un déplacement.
Ensuite, l'application complexe  h(z) = |a|.z  est géométriquement l'homothétie de centre l'origine O (l'origine du repère) et de rapport |a|.
Pour tout nombre complexe z, nous avons donc :

f(z) = h(d(z)) = hd(z)

Géométriquement, l'application f est donc peut être vue comme étant la composée d'un déplacement d et d'une homothétie h : c'est une similitude directe.

 
Les similitudes directes par leurs points fixes
Connaissant désormais une expression complexe d'une similitude directe, nous allons chercher à savoir s'il n'existerait pas plusieurs sortes de similitudes directes. Nous inspirant de ce qui a été fait avec les isométries, nous allons nous intéresser à leurs points fixes.

Nous allons travailler avec la sympathique similitude directe f dont une expression complexe est : f(z) = a.z + b.
Nous pouvons écrire :

M d'affixe z est un point fixe de f    f(M) = M    f(z) = z    a.z + b = z    (1 - a).z = b

Pour être un point fixe de la similitude f, il faut et il suffit que son affixe soit solution de l'équation (1 - a).z = b. A ce stade, deux cas doivent être envisagés suivant la valeur de a.

• Si  a = 1  alors  l'équation (1 - a).z = b  devient  0 = b.
  Là deux options sont possibles : soit b est effectivement nul et à ce moment la similitude  f(z) = z  est l'identité.
  Autre possibilité : b (qui est fixé) peut aussi être non nul. Notre équation n'a alors aucune solution. Donc la similitude directe f n'a aucun point fixe.
  Ce n'est pas très étonnant car alors f(z) = z + b. Autrement dit, f est une splendide translation de vecteur d'affixe b.
   
• Si a 1  alors l'équation  (1 - a).z = b  devient  z = .
  Donc la similitude directe f admet un unique point fixe C qui a pour affixe  c = .
  Essayons d'en apprendre plus sur f.
  Nous savons qu'une similitude directe est le produit d'un déplacement et d'une homothétie. Or les seuls déplacements à points fixes sont les rotations. Partant de cette idée, nous allons jeter notre dévolu sur deux transformations bien précises qui auront toutes les deux pour unique point fixe C.
  Nous décidons d'appeler un argument de a. Nous avons l'égalité : a = |a| . .
  
  Les deux transformations que nous allons considérer sont les suivantes :
  h est l'homothétie de centre C et de rapport |a|. Une forme complexe de h est : h(z) = k.z + (1 - k).c
  r est la rotation de centre C et d'angle . Une écriture complexe de r est :  r(z) = .z + c - .c
  
  Intéressons-nous à la forme complexe de leur composée hr.
  Pour tout nombre complexe z, nous pouvons écrire :
  
  La composée hr est donc la similitude directe f.
  De la même manière, on peut prouver qu'il en va de même pour la composée rh.
  Encore un mot sur ce type de similitude :
   

  On dit que f est une similitude directe de centre C d'affixe c = , d'angle et de rapport |a|. Ces trois paramètres émanent de la rotation et de l'homothétie.

   

Après toutes ces étreintes avec les similitudes, nous pouvons conclure :

Tout ce qui vient d'être fait est très beau mais peu concret. Aussi allons-nous traiter quelques exemples de similitudes dans le détail !

• Déterminons une expression complexe de la similitude directe f de centre C(1 ; 2), d'angle /2 et de rapport 3.
  f a une écriture complexe de la forme : f(z) = a.z + b  où a et b sont deux complexes à déterminer.
  Les module et argument de a sont respectivement le rapport et l'angle de cette similitude.
  Donc  a = 3 × = 3.i
  Pour obtenir b, nous allons utiliser le fait que C d'affixe  1 + 2i  est un point fixe de f. Nous obtenons donc l'équation :
   f(C) = C    f(1 + 2i) = 1 + 2i    3i . (1 + 2i) + b = 1 + 2i    3i - 6 + b = 1 + 2i    b = 7 - i
   

  Conclusion : une écriture complexe de la similitude directe f est :  f(z) = 3i . z + 7 - i

   
• Déterminons les caractéristiques de la similitude directe de forme complexe  g(z) = (1 + i).z +7
  La première chose à dire est que comme son coefficient en z est différent de 1  alors  ce n'est ni une translation, ni l'application identique. g a donc un centre, un angle et un rapport. Ces deux derniers sont respectivement les module et argument de 1 + i.
  Commençons par le rapport :  |1 + i| = .
  
  Pour déterminer l'affixe du centre de la similitude directe, on peut résoudre l'équation g(z) = z  ou utiliser la formule . Dans les deux cas, on trouve que cet affixe est 7i.
   

  Conclusion : la similitude directe g a pour centre le point C(0 ; 7), pour rapport et pour angle /4.

Deux points suffisent...
Si nous travaillions dans et que ses coefficients étaient réels, la fonction  f(z) = a.z + b  serait qualifiée de "affine". Or deux nombres et leurs images suffisent à définir une fonction affine. On retrouve cette même propriété chez les similitudes directes.

Soient donc M et N deux points distincts du plan d'affixes respectifs m et n.
Nous appelons M' et N' deux autres points tout aussi distincts d'affixes m' et n'.
La question que se pose, est : existe-t-il une similitude directe f par laquelle les images respectives de M et N sont M' et N' ?

Si une telle similitude directe f existe, alors elle a une expression complexe de la forme   f(z) = a.z + b  où a est un complexe non nul.
Une telle similitude directe vérifie aussi les égalités suivantes :

Ayant le coefficient a, on en déduit la constante b en résolvant l'équation :

Résumons : s'il existe une similitude directe f par laquelle les points M et N ont pour images respectives M' et N' alors celle-ci a pour expression complexe :

Si elle existe alors elle est unique !
Mais attention ! Rien ne garantit qu'une telle similitude directe existe ! Tout du moins qu'elle remplisse les conditions énoncées !

L'application complexe f que nous avons trouvée, est clairement une similitude directe. Elle en a l'expression.
Ensuite, elle vérifie l'égalité  f(M) = M' f(m) = m'. Car nous avons utilisé cette égalité pour déterminer le coefficient b.
Il reste à regarder si elle vérifie aussi l'autre égalité  f(N) = N' f(n) = n'.

La similitude directe trouvée f vérifie donc bien toutes les conditions énoncées. Ainsi pouvons-nous conclure :

Si l'on se place du point de vue des segments alors il existe exactement deux similitudes directes par lesquelles le segment [MN] a pour image le segment [M'N'].
En effet, il y a celle que nous connaissons et celle par laquelle le point M a pour image N' et N a pour image M'.

La composée de deux homothéties
Une similitude directe particulière est l'homothétie. Lorsque l'on compose deux homothéties, on obtient au minimum une similitude directe (car d'un bout à l'autre les angles orientés sont préservés). Mais n'obtient-on pas mieux ? Voilà la question à laquelle nous allons nous efforcer d'apporter une réponse.

Nous considérons les homothéties h de centre A et de rapport k, et h' de centre B et de rapport k'.
Pour répondre à notre interrogation, nous allons passer par les expressions complexes de ces deux homothéties.
Appelons a et b les affixes respectives des points A et B.
Intéressons-nous à la composée h'h. La situation est la suivante :

Exploitons les égalités résultant de cet enchaînement :

• D'une part : h(M) = M'    = k.    z' - a = k.(z - a)    z' = k.z - k.a + a

• De l'autre :  h'(M') = M"    = k'.    z" - b = k'.(z' - b)    z" = k'.z' - k'.b + b

Injectant la première égalité dans la seconde, il vient :

Là deux cas sont à envisager suivant la valeur du produit k.k' :

• Si  k.k' = 1  alors l'égalité précédente se réduit à : h'h(z) = z" = z + c
  Donc la composée h'h est la translation de vecteur d'affixe c.
   

• Si  k.k' 1  alors il est possible de diviser par  1 - k.k'. L'égalité précédente devient alors :
  
  En appelant D le point d'affixe d, cette dernière égalité s'écrit vectoriellement : = k.k'..
  Autrement dit, M" est l'image de M par l'homothétie de centre D et de rapport k.k'.
  Donc la composée h'h est une homothétie de rapport k.k'.

C'était donc mieux qu'une simple similitude directe ! Quoique être une similitude directe n'est pas déshonorant ! Il en va d'ailleurs de même pour la condition de similitude indirecte...

Les similitudes indirectes
Après avoir disséqué les similitudes qui conservent les angles orientés, nous allons jeter notre dévolu sur celles qui les changent. La première chose à laquelle nous allons nous intéresser est leur expression complexe.

L'expression complexe d'une similitude indirecte
Peut-être est-ce inutile mais précisons que tout ce suit se déroule dans un repère orthonormé.

Une similitude indirecte f peut être vue comme étant la composée d'un antidéplacement g (réflexion ou symétrie glissée) et d'une homothétie h de rapport k.
Une expression complexe de l'antidéplacement g est  g(z) = a.z + b  où a est un complexe de module 1.
Une expression complexe de l'homothétie h est  h(z) = k.z + d  où c est un nombre complexe quelconque.
Pour tout nombre complexe z (affixe d'un point M), nous pouvons écrire :

f(z) = hg(z) = h(a.z + b) = k.a.z + k.b + d = a'.z + b'

où  a' = k.a  et  b' = k.b + d.

Réciproquement, on peut se demander si une application complexe de la forme f(z) = a.z + b ne cacherait pas une similitude indirecte. Et bien, si ! En effet, nous pouvons écrire :

La transformation f est donc la composée d'un antidéplacement g et d'une homothétie h de centre l'origine et de rapport |a|.

Les similitudes indirectes par leurs points fixes
A l'instar de leurs consoeurs directes, les similitudes indirectes admettent peut-être des points fixes ? D'ailleurs, peut-être est-il possible de les caractériser par ce biais ? Autant de "peut-être" qui ne sont toutefois pas des certitudes. Une enquête s'impose !

Nous allons travailler avec la sémillante similitude indirecte f dont une expression complexe est  f(z) = a.z + b  où a est un nombre complexe non nul.
Entamons les manoeuvres !

M d'affixe z est un point fixe de f    f(z) = z    a.z + b = z

Là plusieurs cas peuvent se présenter suivant la valeur du module de a.

• Si le module de a est égal à 1  alors  la similitude f est une simple isométrie. Plus précisément, c'est antidéplacement.
  Son expression complexe nous laisse alors le choix entre une symétrie axiale et une symétrie glissée.
  Si f est une réflexion (ou symétrie axiale)   alors  l'ensemble des points fixes de f est une droite : c'est l'axe de symétrie.
  Si f est une symétrie glissée  alors  f n'a aucun point fixe.
   
• Si le module de a est différent de 1  alors  la similitude n'est pas une isométrie. Il faut alors procéder différemment.
  Tout le problème est d'arriver à résoudre l'équation f(z) = z.
   
  Si M d'affixe z est un point fixe de f  alors  f(z) = z    a.z + b = z.
  Conjuguons cette égalité :
  Résumons ce que nous avons :
                                          
  Nous décidons d'injecter la seconde égalité dans la première.
  
  Une précision : comme le module de a est différent de 1 alors il est possible de diviser par  1 - |a|².
   
  
  Attention ! Ce qui précède ne veut pas dire que l'équation  f(z) = z  admet une unique solution.
  Non, cela signifie que si elle a des solutions alors il n'y en a qu'une et que c'est .
  Il nous reste à vérifier que est effectivement une solution de l'équation f(z) = z. Nous calculons son image par f :
        
  Donc est bien une solution de l'équation f(z) = z. Et c'est la seule !
  Ainsi, la similitude indirecte f(z) = a.z + b  admet-elle un unique point fixe F qui a pour affixe .

Finalement, nous pouvons conclure :

Deux points suffisent aussi...
Nous avons vu que deux points distincts et leurs images suffisaient à définir une similitude directe. Ce qui est vrai pour celles qui conservent les angles l'est aussi pour celles qui les changent : deux points distincts et leurs images suffisent à définir une similitude indirecte. Voyons le pourquoi de la chose.

M et N sont deux points distincts du plan d'affixes respectifs m et n.
Nous appelons M' et N' deux autres points tout aussi distincts d'affixes m' et n'.
La question est de savoir s'il existe une similitude indirecte f d'écriture complexe  f(z) = a.z + b  par laquelle les images des points M et N ont respectivement M' et N'.

Si une telle similitude indirecte f existe alors nous avons les égalités :

Ayant le coefficient a, nous pouvons à présent déterminer le coefficient b.

Si une telle similitude indirecte f existe alors une de ses expressions complexes est :

Ce qui implique qu'au plus, il n'y en a qu'une !

Si nous voulions être complet, il faudrait prouver par des calculs que par cette similitude indirecte f les images des points M et N sont respectivement M' et N'. C'est ce que nous avons fait pour la similitude directe ! Mais nous laisserons à notre sympathique lecteur cette petite aventure. Mais finalement, nous pouvons conclure :

Lorsque les deux segments [MN] et [M'N'] sont de même longueur alors il existe un seul antidéplacement (symétries axiale ou glissée) par laquelle les points M et N ont pour images respectives les points M' et N'.

Même les similitudes s'en vont par deux... Sans le recours à l'arme complexe, la conquête de l'empire des similitudes n'aurait pu avoir lieu. Car à chaque similitude qu'elle soit directe ou pas correspond une unique application complexe. Ces formes complexes vont nous rendre un dernier service. Grâce à elles, nous pouvons dire qu'il existe autant de similitudes directes que de similitudes indirectes. En effet, à la similitude directe  f(z) = a.z + b  correspond son âme soeur indirecte  g(z) = a.z + b. Chaque similitude directe a une antiparticule indirecte. Et réciproquement ! La seule chose qui sépare la similitude directe f de sa promise indirecte g est la réflexion d'axe s celui des abscisses dont une expression complexe est s(z) =  z. Schématiquement, la situation est la suivante : Et réciproquement ! N'oublions pas que toute symétrie axiale est sa réciproque ! Pour terminer, précisons que les isométries aussi s'en vont par deux. Chaque déplacement préserve au fond de son coeur son antidéplacement avec qui il se composera peut-être un jour ! Car eux aussi sont des similitudes !

Une classification des similitudes
Toutes ces aventures nous permettent de dire qu'il n'existe pas tant d'espèces de similitudes que cela. Il est d'ailleurs possible de les caractériser à partir des angles orientés qu'elles conservent ou pas, et à partir du nombre de leurs points fixes. Cela donne la classification suivante :

Ce tableau nous amène à deux conclusions :

• Toute similitude f n'ayant aucun point fixe est une isométrie : c'est soit une translation, soit une symétrie glissée.
  C'est pour cela que la résolution de l'équation f(z) = z  est intéressante : pas de solution signifie pas de point fixe...
   
• Toute similitude f ayant au moins deux points fixes est soit l'identité, soit une réflexion.

Vous connaissez à présent le secret des similitudes. Mais surtout, gardez-le pour vous !

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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