Les variations d'une fonction sont abordées dès la Seconde. Le principal apport de la dérivée est que le signe de celle-ci permet de connaître les variations de la fonction initiale.
Comme vous pourrez le constater, nous utiliserons beaucoup d'outils vus en Seconde. En particulier les tableaux de signes.

 

Le théorème.
 Le grand intérêt de la dérivée est que son signe permet de connaître le sens de variation de la fonction initiale. C'est l'objet du théorème suivant :

Théorème : sens de variation et signe de la dérivée.
La fonction f est dérivable sur l'intervalle I.
  • Si sa dérivée f' est strictement positive sur I  alors  f est strictement croissante sur I.
  • Si sa dérivée f' est nulle sur I  alors  f est constante sur I.
  • Si sa dérivée f' est strictement négative sur I  alors  f est strictement décroissante sur I.

On pourrait croire que cette chose est naturelle. En effet, le nombre dérivé d'une fonction en un point donné n'est rien d'autre que la pente de la tangente à la courbe en ce point.
Voyons ce qu'il en est avec la fonction sinus.

En x = 1, la fonction sinus est croissante.
La pente de la tangente est positive.		 En x = /2, la fonction n'est ni croissante, ni décroissante.
La pente de la tangente est nulle.		 En x = 3, la fonction sinus est décroissante.
La pente de la tangente est négative.

 

 

Un exemple d'application.
 Intéressons-nous à la fonction f définie par :

f(x) =

Nous allons étudier cette fonction sur son ensemble de définition.
Etudier une fonction, cela veut dire dans l'ordre :

  1. déterminer son ensemble de définition.
  2. déterminer toutes ses limites.
  3. déterminer ses variations.

Au boulot !

 

La fonction f est une fonction rationnelle. Elle est définie là où son dénominateur  x - 1  est non nul.
C'est-à-dire partout sauf en 1. Ainsi :

Df = ]-¥ ; 1[ È ]1 ; +¥[.

Enfin, on montre qu'une autre écriture de f(x) est :

f(x) = x +

La seconde phase d'une étude de fonction concerne généralement les limites.
Nous savons déterminer les limites d'une fonction rationnelle. Alors au boulot !

Les limites de la fonction f.
 Dans le cas présent, nous devons nous intéresser aux limites de f aux infinis et au voisinage de 1.
  • Limites aux infinis.
    Les limites de f aux infinis sont :
    Comme pour tout réel x différent de 1,   f(x) = x +    alors la droite D d'équation y = x  est une asymptote à la courbe de f aux voisinages des infinis.
      
  • Limites en 1.
    On peut s'approcher de deux manières de 1 : par gauche (c'est ce que l'on appelle 1-) ou par la droite (c'est 1+). Les limites recherchées sont :
    La droite verticale D' d'équation x = 1 est donc une asymptote verticale à la courbe de la fonction f.

 

Ce qui nous intéresse dans f, ce sont ses variations...
Afin d'avoir une idée de celles-ci, traçons la courbe représentative de la fonction f avec ses deux asymptotes.

Observant la courbe ci-contre. Il semble que :

  • f soit croissante avant -3 et après 5.
  • f décroisse entre -3 et 1, puis entre 1 et 5.

Essayons de retrouver (et même de démontrer) ces constations par le calcul.

Pour y arriver, nous allons utiliser le théorème vu au premier paragraphe.
Celui nous dit que le signe de la dérivée d'une fonction permet de connaître les variations de celle-ci.
La première chose à faire est donc de dériver la fonction f.

Une remarque avant les calculs : nous devons quand même préciser pourquoi f est dérivable partout sauf en 1.

Comme f est le quotient de deux fonctions dérivables sur   ]-¥ ; 1[ È ]1 ; +¥[ et que son dénominateur  x - 1  ne s'annule pas sur cet ensemble,  alors  f est dérivable partout sauf en 1.

Pour tout réel x différent de x, on a donc que :

Sous cette forme, la dérivée f' est inexploitable car ce qui nous intéresse est don signe. Nous devons donc factoriser le numérateur x2 - 2.x - 15.
Cela se fait tout seul en utilisant les formules du trinôme.
On obtient :  x2 - 2.x - 15 = (x + 3) . (x - 5).

Au final, pour tout réel x différent de 1 :

Là, le travail n'est pas terminé. Cependant la fin est proche...

Nous voulons connaître le signe de f'(x). Nous allons donc dresser son tableau de signes.

C'est ainsi que désormais vous déterminerez les variations d'une fonction...

 

 

Extréma : une idée fausse.
Si le signe de la dérivée d'une fonction permet de connaître ses variations, en revanche cette dérivée ne permet pas de déterminer les extréma de cette fonction.
Rappelons qu'un extrémum est un minimum ou un maximum.

Nous allons essayer de découvrir un lien entre la dérivée d'une fonction et ses extréma.
Pour cela, revenons sur la fonction f du précédent paragraphe. Elle était définie pour tout réel x différent de 1 par :

f(x) =

Revenons sur son tableau de variation.

On constate deux choses :

Attention : nous parlons d'extréma locaux car la fonction f n'a ni de maximum, ni de minimum absolus.
Maximum local signifie que c'est le point le plus élevé sur un intervalle particulier.

Revenons sur nos constatations. Il semble que :

Si la dérivée est nulle en un point x0   alors   la fonction admet un maximum ou un minimum en x0.

Il ne s'agit pas là d'un génial théorème mais plutôt d'une mauvaise interprétation ou d'une fausse idée.

Le contre exemple :
Prenons l'exemple de la fonction cube   g(x) = x3   représentée ci-contre.

Nous connaissons sa dérivée :

g'(x) = 3.x2

Cette dérivée s'annule en 0 car g'(x) = 0.
Pourtant, le réel x = 0 n'est ni un minimum, ni un maximum pour la fonction cube.

Notre supposition est donc fausse !

En fait, nous avons mal envisagé la chose. Il aurait fallu la considérer dans l'autre sens.
Le vrai théorème est donc :

Théorème : f est une fonction dérivable sur l'intervalle ]a ; b[. x0 est un réel de cet intervalle.

Si f admet un maximum ou un minimum local en x0   alors   f'(x0) = 0.

Pour déterminer les extréma d'une fonction, la seule arme efficace demeure comme en Seconde le tableau de variation.

 

 

Bijection et résolution d'équations.
Une fonction est dite monotone lorsqu'elle est soit continuellement croissante , soit toujours décroissante.

Nous avons déjà évoqué le douloureux cas des fonctions bijectives. Ces fonctions ont le grave défaut d'être difficile à reconnaître.
Cependant lorsqu'elles sont dérivables, les choses sont différentes...

Prenons l'exemple d'une fonction f définie et dérivable sur un intervalle [a ; b].

Supposons que la dérivée de f soit toujours positive.
Autrement écrit, pour tout x Î [a ; b] on a   f'(x) > 0.

On peut alors affirmer que f est strictement croissante sur l'intervalle [a ; b].

Cette fonction f est aussi une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)].
En effet, tout réel y de ce dernier intervalle a exactement un antécédent x par f.

Cette constatation préfigure la proposition (ou théorème sans intérêt !) suivante :

Proposition : f est une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b].
  • Si sa dérivée f' est (strictement) positive  alors  f est une bijection de [a ; b]  sur  [f(a) ; f(b)].
  • Si sa dérivée f' est (strictement) négative  alors  f est une bijection de [a ; b]  sur  [f(b) ; f(a)].

 

Note : on pourrait croire que si f n'était pas dérivable sur [a ; b] alors elle ne serait pas une bijection.
C'est là une fausse idée !
En fait, ce qui compte, c'est le fait que la fonction soit strictement croissante sur l'intervalle [a ; b].

Prenons deux exemples de deux fonctions définies sur l'intervalle [a ; b] mais n'y étant pas continues (donc non dérivables). 

La fonction g ci-contre qui n'est pas continue en x = 4.
Elle est strictement croissante sur les intervalles [a ; 4[ et [4 ; b].
Cependant, elle n'est pas strictement croissante sur l'intégralité de [a ; b].

Comme 1 a deux antécédents par cette fonction g alors ce ne peut pas être une bijection sur l'intervalle [a ; b].
La fonction h n'est elle-aussi pas continue en x = 4.
Cependant, elle est strictement croissante sur l'intégralité de l'intervalle [a ; b].

Comme tout réel y de l'ensemble  [h(a) ; z[ È [h(4) ; h(b)] a un et un seul antécédent par h alors cette fonction h est une bijection sur l'intervalle [a ; b].

 
Conclusion : pour qu'une fonction soit une bijection sur un intervalle [a ; b], elle soit y être strictement croissante ou bien strictement décroissante.

 

 

Résolution d'équations par dichotomie.
Nous le savons : toutes les équations n'admettent pas nécessairement une solution. Et pour celles qui en ont, il est parfois tout simplement impossible de la déterminer tellement elle est compliquée. On doit alors se contenter d'une valeur approchée.
C'est dans ce cadre là, que ce que nous avons fait prend toute son importance.
    

L'exemple :
La fonction f est définie pour tout réel x de l'intervalle [0 ; p] par :
f(x) = x - cos(x)

Résolvons l'équation f(x) = 0

Par le calcul, il nous est impossible de résoudre cette équation car nous n'avons aucune méthode pour résoudre ce genre d'équation Nous devons essayer autre chose. Nous devons aussi nous poser les bonnes questions. Au boulot !
   

Question 1 : cette équation admet-elle des solutions ? Si oui, combien ?
Voilà une question qu'elle est bonne car il se peut que nous cherchions une chose qui n'existe pas !

Pour y répondre, nous allons étudier les variations de la fonction f.
Comme elle est dérivable sur son intervalle [0 ; p], c'est le signe de la dérivée de la fonction f qui va nous donner ses variations.

Pour tout réel x :

f'(x) = (x)' - (cos(x))' = 1 + sin(x)

Or sur l'intervalle [0 ; p], le sinus est positif ou nul. Donc f'(x) sera toujours positif. Donc la fonction f est strictement croissante.

Calculons les valeurs prises par f aux bornes de son intervalle de définition.

f(0) = 0 - cos(0) = -1       et       f(p) = p - cos(p) = p + 1

Dressons le tableau de variation de cette fonction f :

Nous savons que la fonction f est dérivable et strictement croissante sur [0 ; p]. Donc f est une bijection de [0 ; p] sur [-1 ; 1 + p].
 
Or 0 fait partie de l'intervalle [-1 ; 1 + p].
Comme tous les autres, il a donc exactement un antécédent par cette fonction f.
L'équation f(x) = 0 admet donc une et une seule solution.

 

Question 2 : déterminer la solution de cette équation.
Nous l'avons déjà dit : il est quasiment impossible de trouver une expression correcte pour la solution de cette équation.
Nous allons devoir nous contenter d'une valeur approchée de celle-ci. Pour y parvenir, nous allons utiliser la méthode par dichotomie.

La dichotomie ressemble à peu à ce jeu où une première personne choisit un nombre et une seconde essaie de le deviner. A chaque proposition, la première personne annonce si la proposition est plus grande ou plus petite.
A chaque tentative, la seconde personne se rapproche un peu plus du nombre en le cernant toujours un peu plus.

Le processus de dichotomie va nous permettre de cerner de plus en plus la solution de l'équation f(x) = 0.
L'algorithme est le suivant : 

Quelques remarques sur cet algorithme :

  • A chaque itération ou cycle, le diamètre de l'intervalle [a ; b] dans lequel se trouve la solution est divisé par 2.
    En effet, on remplace l'une des deux bornes de l'intervalle par son milieu.
      

  • L'algorithme ci-dessus est légèrement faux. En effet, il est très rare que l'on tombe sur la solution exacte de l'équation  f(x) = 0.
    Néanmoins, au fur et à mesure des itérations, la valeur approchée de la solution devient plus précise.
     

  • L'algorithme ci-dessus ne s'applique qu'à une fonction strictement croissante.
    Si la fonction est strictement décroissante, il faut alors intervertir les deux ailes :

    Si f(c) est positif    alors   on remplace a par c.
    Si f(c) est négatif    alors   on remplace b par c.         Car la fonction arrive alors par le haut...

Mais le mieux pour comprendre l'algorithme est sûrement de le voir fonctionner. C'est l'objet de l'applette suivante.
Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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