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Les démonstrations de cette page ne nécessitent pas un niveau extra-ordinaire. Elles sont à la portée d'un honnête élève de Première, même pas scientifique... |
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Les démonstrations de cette page ne nécessitent pas un niveau extra-ordinaire. Elles sont à la portée d'un honnête élève de Première, même pas scientifique... |
Opérations
et dérivation :
Les pourquoi...
| Dérivée d'une somme | Dérivée d'un produit | Dérivée d'un inverse |
| Dérivée d'un quotient | Dérivée d'une composée | Dérivée d'une réciproque |
| Dérivée d'une somme
de deux fonctions. L'addition est une des deux opérations que la dérivation laisse intacte. Cela est due en grande partie au comportement de la limite. Car ne l'oublions pas, un nombre dérivé est avant tout une limite... x est un réel fixé. u et v est une fonction dérivable point x. On appelle f
la fonction somme de u et v. f(t) = u(t) + v(t) Si nous prenons la variable t à la place de x, c'est parce que dans notre raisonnement, x est un réel fixé. Il est donc momentanément indisponible ! Pour déterminer si f
est dérivable en x, étudions la limite lorsque h tend vers 0 du quotient Pour tout h, on peut écrire que :
Donc lorsque la limite
lorsque h tend vers 0 de
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| Dérivée du produit de deux
fonctions. Contrairement à la somme, le produit de deux fonctions passe mal le cap de la dérivation. Il en ressort comme nous allons le voir légèrement déformé... x est un réel fixé. u
et v sont deux fonctions dérivables
en x. On appelle f leur produit. f(t) = u(t) . v(t) Si nous prenons la variable t à la place de x, c'est parce que dans notre raisonnement, x est un réel fixé. Il est donc momentanément indisponible ! Pour déterminer si f
est dérivable en x, nous devons étudier la limite lorsque h tend vers
0 du quotient Commençons par exploiter les dérivabilités de u et v au point x :
Avant de nous intéresser au quotient
Précision : ça tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Cette simplification ayant été faite, nous pouvons nous attaquer au quotient. Pour tout h non nul, on peut écrire que :
Donc lorsque la limite
lorsque h tend vers 0 du quotient
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| Dérivée de
l'inverse d'une fonction. A l'instar du produit, l'inversion passe assez mal à la dérivation... Illustration dans ce qui suit ! x est un réel fixé. u
est une fonction dérivable et non nulle au point x. On appelle f
l'inverse de cette fonction.
Si nous prenons la variable t à la place de x, c'est parce que dans notre raisonnement, x est un réel fixé. Il est donc momentanément indisponible ! Pour déterminer si f
est dérivable en x, étudions la limite de Pour tout h non nul, on peut écrire que :
Exploitons ce nouvelle
écriture de notre quotient :
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| Dérivée d'un
quotient de deux fonctions. Diviser, c'est multiplier par l'inverse. C'est en appliquant cet adage que nous allons déterminer la dérivée du quotient de deux fonctions. x est un réel fixé. u et v est une fonction dérivable point x. On suppose de plus que v ne s'annule pas en x. On appelle f
la fonction quotient de u et v.
Si nous prenons la variable t à la place de x, c'est parce que dans notre raisonnement, x est un réel fixé. Il est donc momentanément indisponible ! Vu que v
ne s'annule pas en x et qu'elle y est dérivable, alors
la fonction 1/v est aussi dérivable
en x. Donc :
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| Dérivée de la
composée de deux fonctions. La composée de deux fonctions convenablement dérivables est dérivable. C'est ce que nous allons démontrer. Sinon, faut voir... x0 est un réel fixé. f est une fonction dérivable en x0. On appelle y0 l'image de x0 par f. Donc y0 = f(x0) . g est une fonction dérivable en y0. Notre mission est de démontrer que la composée fog est dérivable en x0. Pour étudier la dérivabilité
de fog en x0,
intéressons-nous à la limite lorsque x tend vers x0 du quotient
Pour tout x voisin (proche) de x0, on peut écrire que :
Le quotient est un produit composé de deux facteurs. Analysons-leurs comportements lorsque x se rapproche de x0 :
En résumé :
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| Dérivée d'une
fonction réciproque. Lorsqu'une fonction est dérivable en un point et qu'elle admet une réciproque alors en retour cette dernière est aussi dérivable... f est une fonction bijective dont la réciproque est la fonction g. x0 est un réel fixé. On suppose que la fonction f est dérivable en x0 . Notre mission g est de démontrer qu'alors est dérivable en y0. Pour déterminer si g
est dérivable en y0, étudions la limite du quotient Pour tout y, on appelle x le réel lui correspondant par la fonction f ou g. Ainsi : y = f(x) ou x = g(y) On peut écrire que :
Or lorsque y tend vers y0, x = g(y) tend vers x0 = g(y0). Comme la fonction f
est dérivable en x0, alors la limite
lorsque x tend vers x0 du quotient Donc lorsque la limite
lorsque y tend vers y0 de
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.
.
.
tend vers g'(y0) = g'(f(x0)).
tend vers f'(x0).
lorsque y tend vers y0.
est égale à f'(x0).
.