Une dérivée non continue.

Intéressons à la fonction f définie par : f(0) = 0. Pour tout réel x non nul,   f(x) = x2 . Nous allons montrer que cette fonction est continue sur ]-¥ ; +¥[, puis y est dérivable mais que sa dérivée n'est pas continue en 0.

La fonction f est-elle continue sur ]-¥ ; +¥[ ?
Partout sauf en 0, la fonction f est le produit de la fonction carrée et de .
Ces deux fonctions étant continues sur ]-¥ ; 0[ et sur ]0 ; +¥[, il en va de même pour leur produit : donc f est continue sur  ]-¥ ; 1[ È ]1 ; +¥[.

Reste le cas de 0.

Pour démontrer que f est continue en 0, nous devons prouver que lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers f(0). Autrement écrit, nous devons établir que :

Pour y arriver, nous allons essayer d'encadrer ou de "coincer" la différence |f(x) - f(0)|. Nous allons faire en sorte de la majorer par quelque chose de plus parlant..

Pour tout x non nul, on peut écrire que :

Or lorsque x tend vers 0, x² tend aussi vers 0. Autrement écrit :

En application du théorème des gendarmes, nous pouvons dire que lorsque x tend vers vers 0, |f(x) - f(0)| tend aussi vers 0.
Donc la limite de f(x) en 0 est bien f(0).
Donc f est aussi continue en 0.

La fonction f est-elle dérivable sur ]-¥ ; +¥[ ?
Nous allons faire pour la dérivabilité de la fonction f ce que nous avons fait pour la continuité : nous allons envisager deux cas :

• Lorsque x est différent de 0 :
  Sur les intervalles ]-¥ ; 0[ et ]0 ; +¥[, la fonction f est dérivable car elle est le produit de deux fonctions qui y sont dérivables : x² et .
  Nous pouvons donc calculer cette dérivée f'. Nous utiliserons la formule de dérivation du produit.
  Pour tout réel x non nul :
   
• Lorsque x est égal à 0 :
  Pour voir si la fonction f est dérivable en 0, nous allons nous intéresser à la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .
  Pour tout réel non nul h, on peut écrire que :
  Or lorsque h tend vers 0 :
  
  Coincé entre 0 et une fonction qui y tend, le quotient a donc lui aussi pour limite 0.
  Donc la fonction f est dérivable en 0. De plus :  f'(0) = 0.

La dérivée f' est-elle continue sur ]-¥ ; +¥[ ?
Jusqu'à présent toutes les dérivées que nous connaissons sont continues. Cet état de fait va prendre fin avec ce qui suit :

Il est clair que la fonction  f'(x) =   est continue sur les intervalles ]-¥ ; 0[ et ]0 ; +¥[.
Par contre en 0, la continuité n'est pas acquise ! Nous devons approfondir la question.

Là encore, pour démontrer que la fonction f' est continue en 0, nous allons devoir prouver que lorsque x tend vers 0, tend vers f'(0), c'est-à-dire vers 0. A voir la courbe de f', la chose ne semble guère aisée.

En fait :

Autrement dit, lorsque x tend vers 0, f'(x) n'a pas de limite à cause de .

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