La notion de dérivée est née de la nécessité de pouvoir connaître en tout point d'une courbe l'équation d'une tangente à celle-ci.
C'est à partir d'elle que sont nées et définies les notions de nombre dérivé et de dérivation.
Après tout n'est que calculs : la géométrie devenant de l'analyse...

 

De la tangente à la dérivabilité.
Aux origines de la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente d'une droite particulière à une courbe qu'on appelle la tangente.

La notion de tangente n'est pas spécifique au cercle. Elle peut être étendue à n'importe quelle courbe même celle d'une fonction.

Mais au fait, c'est quoi une tangente ?

La tangente à une courbe en un point A est une droite.
Par définition, la tangente à une courbe en un point A est la droite "limite" prise par les droites (AB) lorsque le point B se rapproche indéfiniment du point A tout en restant sur ladite courbe.
Par exemple, intéressons-nous à la courbe de la fonction f définie par :

f(x) = -0,3 . x2 + 1,8 . x

A et B sont deux points de la courbe de cette fonction.
L'abscisse de A vaut :

xA =
Le point B est déplaçable grâce à quelques clics de souris. Rapprochez le de A.

Lorsque le point B se rapproche du point A, la droite (AB) se rapproche à jamais de la tangente à la courbe en A.
Donc la pente de la droite (AB) tend vers la pente de notre tangente.

Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égale à . 

Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque xB tend vers xA du quotient .

En résumé :

point B point A
droite (AB) tangente en A
pente de la tangente en A

Ecrit autrement :

Cette pente est aussi appelée nombre dérivé de la fonction f en xA. Il est noté  f'(xA).
Quand il existe, on dit que la fonction f est dérivable en xA.

Définition : Dire que la fonction f est dérivable en x0 existe   signifie que  la limite lorsque x tend vers x0 du quotient   existe et qu'elle est finie.

Lorsque c'est le cas, elle porte l'appellation de nombre dérivé de la fonction f en x0. Il est noté f'(x0).
Autrement écrit :

Les deux définitions sont équivalentes...

Cette définition est très théorique ! Mettons la en pratique...

 

La dérivation par la pratique.
Nous avons donné la définition d'un nombre dérivé. A présent, nous allons essayer d'en déterminer certains spécimens au travers de deux exemples suivants.
Si le premier marche bien, on n'en dira pas autant du second.

Pour trouver ce nombre, nous allons suivre la définition d'un nombre dérivé : nous allons étudier la limite lorsque x tend vers 1 du quotient  .

Sous cette forme, le quotient n'est pas très exploitable. Nous devons donc en modifier l'écriture.

Pour tout x différent de 1, on peut écrire que :
 


Donc lorsque x tend vers 1, le quotient   tend vers  2 × (1 + 1) = 4.
Conclusion : la fonction f(x) = 2.x2 + 1 est dérivable en x = 1. Le nombre dérivé de cette fonction en 1 vaut 4.
Autrement écrit :
f'(1) = 4.

 


Pour parvenir à ce but, il nous faut étudier la limite lorsque x tend vers 0 du quotient .

Pour tout réel non nul x, on peut écrire :
 

Or lorsque x tend 0, tend vers +¥.
Comme le quotient n'a pas une limite finie alors la fonction g n'est pas dérivable en x = 0.

Conclusion : la fonction racine g(x) = n'est pas dérivable en x = 0.

Ainsi donc, ce n'est pas parce qu'une fonction est définie quelque part qu'elle y nécessairement dérivable.

Expliquons ce phénomène :
Le nombre dérivé d'une fonction g en un point est avant tout le coefficient directeur ou pente de la tangente à la courbe de g en ce point.
Justement, observons ce qu'il en est avec notre fonction racine.
Lorsque x se rapproche de 0, la courbe de la fonction g colle de plus en plus à l'axe des ordonnées D.
Cette dernière droite D est sa tangente en 0.

Or c'est une droite verticale : sa pente est donc infinie. Comme la limite en 0 du quotient .
C'est aussi pour cela que la fonction racine g n'est pas dérivable en x = 0.

Il y a deux enseignements à tirer de ce paragraphe :

  1. il peut exister pour une fonction des réels x où elles n'est pas dérivable.
  2. un nombre dérivé est avant tout une limite. Si on sait déterminer une limite alors on peut trouver un nombre dérivé.

En fait, pour déterminer un nombre dérivé, on peut envisager sous plusieurs angles...
C'est l'objet du prochain paragraphe.

 

Trois méthodes pour dériver.
Globalement, pour déterminer si une fonction f est dérivable en un point x0, il y a trois cheminements possibles :

  1. Première méthode :
    On peut essayer de déterminer la limite lorsque x tend vers  x0 du quotient  .

    C'est la définition même du nombre dérivé.
    C'est ce qui a été fait avec le premier exemple du paragraphe précédent.

    2.  

  2. Seconde méthode :
    On peut aussi déterminer la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .

    Par exemple, déterminons par cette méthode le nombre dérivé en x0 = 1 de la 
    fonction f(x) = 2.x2 + 1.

    Sous cette forme, le quotient n'est pas très exploitable. Modifions le !
    Pour tout réel h voisin de 0, on peut écrire que :

    Lorsque h tend vers 0, le quotient tend vers 4.
    Donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé vaut 4.
    Ce que l'on savait déjà !

    3.  

  3. Troisième méthode :

    On peut aussi chercher à écrire la fonction f sous la forme :

    où :
    • nombre est un réel à déterminer. C'est le nombre dérivé de f en x0.

    • un truc qui tend vers 0 en x0 est une fonction en x qui a pour limite 0 lorsque x tend vers x0.

    Essayons d'écrire la fonction f(x) = 2.x2 + 1 sous cette forme avec x0 = 1.
    Pour tout réel x :

    2f(x) = 2.x2 + 1
    = 3 + 2.x2 - 2
    = f(1) + 2.(x - 1)2 + 4.x - 2 - 2
    = f(1) + 4.x - 4 + 2.(x - 1)2 
    = f(1) + 4 . (x -1) + (x - 1) . 2.(x-1)

    Comme la fonction 2.(x-1) tend vers 0 lorsque x tend vers 1 alors on peut dire que 4 est le nombre dérivé de la fonction f en 1.
    Ce que nous n'ignorions pas !

    Cette méthode est longue, fastidieuse et peu efficace...
    Elle sert mais rarement au lycée...

 

Fonction dérivée.
Imaginons qu'une fonction f soit dérivable sur tout un ensemble I.
Cela signifie que tout réel x de cet ensemble I, il existe un nombre dérivé f'(x).
C'est ainsi que l'on construit la fonction dérivée de la fonction f.

Définition : f est une fonction dérivable sur un ensemble I (autrement écrit, f est dérivable en tout réel x de cet ensemble).

La fonction dérivée de la fonction f est la fonction notée f' et définie pour tout réel x de I par :

f' : x ®  Nombre dérivé de f en x

Par la suite, nous énoncerons les fonctions dérivées des fonctions de références et verrons les formules qui permettent les dérivées de somme, produit, quotient ou composée de deux fonctions.

 

Equation d'une tangente.
Pour conclure cette page, nous allons revenir et répondre au problème qui nous a conduit à la notion de dérivée : celui de la tangente.
Lorsque l'on connaît le nombre dérivé d'une fonction en un point, on connaît alors l'équation de sa tangente.

Théorème : Si la fonction f est dérivable en x0  alors  la courbe de la fonction f admet au point M(x0 ; f(x0)) une tangente dont l'équation réduite est :

y = f'(x0) . (x - x0) + f(x0) 

Par exemple, déterminons l'équation réduite de la tangente dans le cas de notre premier exemple.

Cette fonction f est définie par :
f(x) = 2.x2 + 1
Déterminons l'équation de la tangente D à sa courbe en 
x0 = 1.

Nous savons déjà que :

f(1) = 3        f'(1) = 4.
L'équation réduite de la droite D est donc :

y
y
y		 = f'(x0) . (x - x0) + f(x0)
= 4 . (x -1) + 3
= 4.x - 1.

Ainsi la boucle est-elle bouclée !
Nous attend à présent la dérivée...

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
(c) Mai 2000/Janvier 2003. Tous droits réservés.