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L'exponentielle est au programme de toutes les séries de Terminale pour lesquelles le mot "mathématiques" est porteur de sens. Pour ce qui nous concerne, nous nous efforcerons de lui en donner un. |
L'exponentielle est la seconde des deux fonctions introduites en Terminale.
On la définit comme étant la réciproque du logarithme népérien. Toutes les propriétés d'exp (c'est son p'tit nom) viennent d'ailleurs de ln.
Voici donc l'histoire de celle qui est la moitié de ln : l'exponentielle.
Au commencement.
Au commencement, était la fonction logarithme népérien.
Comme elle était une bijection de ]0 ; +[ sur ]-
; +
[, elle admettait donc une réciproque. Ainsi naquit l'exponentielle...
Définition de l'exponentielle.
La fonction exponentiellle qui est notée exp, est la réciproque de la fonction logarithme népérien. Ainsi :
Exp(x) est le plus souvent noté ex : notation puissance. |
Quelques remarques sur cette copieuse définition :
L'une est la réciproque de l'autre. |
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La courbe de la fonction exponentielle est la symétrique de celle de la fonction logarithme népérien par rapport à la droite d'équation y = x.
Car pour passer de ln à exp, il suffit simplement d'intervertir abscisse et ordonnée... Pou note, la droite d'équation y = x est aussi appelée première bissectrice du plan. |
A partir de cette définition, nous allons pouvoir étudier rapidement la fonction exponentielle.
La fonction exponentielle.
Exp est définie sur ]- ; +
[. Nous allons étudier celle-ci sur cet intervalle.
Tout ce qui va suivre va aller très vite car ce ne sont en fait que les conséquences de choses que nous avons déjà vues...
Conclusion : la fonction exponentielle est dérivable sur ]-![]() ![]() |
Conclusion : la fonction exponentielle est strictement croissante sur ]-![]() ![]() |
Si l'on connaît le logarithme népérien alors on connaît l'exponentielle. En effet :
Lorsque y tend vers 0, x = ln(y) tend vers -.
Donc, réciproquement, lorsque x tend vers -, alors y = exp(x) tend vers 0.
De même :
Lorsque y tend vers +, x = ln(y) tend vers +
.
Réciproquement, lorsque x tend vers +, alors y = exp(x) tend vers +
.
Conclusion : la fonction exponentielle admet deux limites en -![]() ![]()
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Nous pouvons à présent dresser le tableau de variation de la fonction exponentielle.
Les propriétés de l'exponentielle.
A l'instar de ln, la fonction exponentielle a des propriétés d'alchimistes. Cette première transforme les produits et les quotients en sommes et différences. Exp fait la même chose... mais à l'envers !
Voyons ces propriétés dans le détail.
Propriété 1 : Si a et b sont deux réels alors ea . eb = ea+b |
Cette propriété sert par exemple dans les deux cas suivants :
L'usage le plus productif de cette propriété est certainement la modification d'une expression lorsqu'il s'agit de déterminer une limite. |
La preuve de cette propriété : elle repose en grande partie sur la propriété similaire de ln.
Soient a et b deux réels quelconques. Nous voulons montrer que ea . eb = ea+b.
On peut écrire que : ln (ea . eb) = ln(ea) + ln(eb) = a + b = ln(ea+b) Or deux réels strictement positifs ayant le même logarithme, sont nécessairement égaux. Ainsi : ea . eb = ea+b D'où cette première propriété ! |
Généralement, lorsque l'on a une certaine propriété sur le produit, il est bien rare qu'il n'y ait pas de conséquences sur l' inverse, le quotient, la puissance ou la racine carrée.
L'exponentielle fait partie de cette généralité...
Autres propriétés : Si a et b sont deux réels, et n un entier relatif alors :
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||||
Ces quatre propriétés permettent de simplifier certaines expressions.
Par exemple :
Comme la première, ces quatre propriétés servent principalement à déterminer des limites. Dans certains cas, elles permettent de dériver à moindre frais. |
||||
Les preuves de ces propriétés : en s'inspirant de ce qui a été fait pour la première propriété, il est assez aisé de démontrer celles-ci.
Par paresse et par un manque évident de volonté, nous laisserons ces diverses démonstrations à la discrétion de notre vénéré(e) lecteur(rice) ! |
Des trucs en plus.
Pour achever notre aventure exponentielle, nous allons aborder cinq situations où exp intervient. Nous allons voir comment ils peuvent être résolus, moyennant un peu de bon sens.
Au sommaire :
A présent, nous pouvons entamer les hostilités !
Résolutions de deux équations avec exponentielle | |||||||||
Résolvons dans R l'équation e3.x+1 = e2.x-1.
Comme la fonction ln, exp est une bijection. Autrement dit : Deux nombres réels ayant la même exponentielle, sont égaux. On peut donc écrire que :
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Résolvons dans R l'équation e2.x + ex - 2 = 0.
Cette équation est visiblement différente de la précédente. Il va donc falloir employer une méthode de résolution différente. Examinons le premier membre : à peu de chose près e2.x + ex - 2 peut faire penser à un trinôme.
e2.x + ex - 2 = (ex)2 + ex - 2 Si nous parvenons à factoriser X2 + X - 2 alors nous pourrons résoudre l'équation (ex)2 + ex - 2 = 0. Après de petits calculs, on trouve que : X2 + X - 2 = (X - 1) . (X + 2).
Or un produit de deux facteurs est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul.
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Après les équations, nous allons voir comment il est possible de dériver à moindre frais : sans trop d'effort !
Dériver à moindre frais un quotient d'exponentielles | ||||||
Dérivons la fonction f(x) =
![]() ![]() ![]() Pour effectuer ce travail, il y a deux méthodes : la directe qui est la plus calculatoire ou bien l'intelligente qui consiste à simplifier au préalable l'écriture de f(x), puis à la dérivée.
Précisons avant cela une chose :
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Nous avons vu que l'on pouvait alléger notablement le travail en utilisant les propriétés de l'exponentielle dans la dérivation. Avec cette même idée, on peut aussi déterminer certaines limites.
Déterminer trois limites de fonctions avec exponentielles | ||||||
Déterminons la limite lorsque x tend vers +![]() ![]() On notera que nous avons déjà dérivé cette fonction... Au premier abord, f(x) est une forme indéterminée en + Nous allons donc devoir innover. En fait, nous allons juste nous servir de ce qui a été fait pour la dérivation avec la méthode "intelligente". Nous allons simplifier l'écriture de f(x).
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Déterminons la limite lorsque x tend vers +![]() Comme précédemment, nous nous trouvons en face d'une forme indéterminée en + f(x) = e2x - e3x =
Pour trouver cette limite, nous allons devoir modifier l'écriture de f(x). Globalement, deux méthodes permettent de déterminer cette limite. Evoquons-les !
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Déterminons la limite de la fonction f(x) =
![]() ![]() Là encore, lorsque x chevauche vers +
Pour déterminer cette limite, il va donc falloir ruser, c'est-à-dire modifier l'écriture de f(x).
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