Les primitives ne sont abordées qu'en Terminale. Certaines primitives qui seront traitées dans cette page, sont hors de ce programme... Mais pas du notre !

Primitives story 
2.puissances.exponentielles.

Une petite introduction.
Nous savons qu'il existe deux sortes de puissances : l'entière et la réelle. Si la première repose sur des produits, l'autre fait appel au couple logarithme/exponentielle.
Mais en dépit de ces différences, ces deux types de puissances présentent les mêmes formules dérivation. En effet :

• La dérivée de  x^a  est  a . x^a-1.
• La dérivée de  [u(x)]^a  est  a u'(x) . [u(x)]^a-1.  

Bien sûr, suivant le type de puissance considérée, l'ensemble de dérivation varie ou alors il y a des conditions précises sur la fonction u.
Mais ces deux formules permettent déjà de d'établir des formules de primitives pour certains types de fonctions.

Ce qui est faisable avec les fonctions puissances l'est aussi avec les fonctions exponentielles. Nous aborderons le problème en fin de page...

Primitives de fonctions puissances.
Le théorème suivant repose sur ce qui a été rappelé dans le paragraphe précédent : les formules de dérivation de puissance qu'elle soit entière ou réelle...
Voilà l'énoncé de ce théorème.

Théorème : n est un entier naturel différent de 0 et est un réel différent de -1. Si u est une fonction dérivable alors  une primitive de   u'(x) . [u(x)]n   est    × [u(x)]n+1.   Si u est une fonction strictement positive et dérivable  alors une primitive de   u'(x) . [u(x)]   est    × [u(x)] + 1.

Voyons comment s'applique ce théorème sur quelques exemples :

• Primitives de la puissance d'une fonction affine.
  Une primitive de  (x + 1)²  est   × (x + 1)³.
  Une primitive de  = (x + 1)^½  est   × (x + 1)^1,5.

  Mais pour déterminer une primitive de  (4.x - 1)²  ou de  , il faut en modifier l'écriture. Il s'agit de les mettre  la forme  u'(x) . [u(x)]^a.
  Pour tout x, on peut donc écrire que :

  
  

  Ainsi donc :
  Une primitive de  (4.x - 1)²  est  × (4.x - 1)³.
  Une primitive de     est  × (4.x - 1)^1,5.

  De manière générale : Une primitive de  (a.x + b)n  est    × × (a.x + b)n+1. Une primitive de    est    × × (a.x + b)3/2.

  
   
• Déterminons une primitive de  3.x × .
  A notre connaissance, aucune fonction n'a pour dérivée la fonction racine. Pour débloquer la situation, nous allons faire parler notre puissance...

  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  3.x ×	= 3.x × (x2 + 1)0,5
  	= × 2.x × (x2 + 1)0,5  =  × u'(x) × (u(x))0,5

  Une primitive de  3.x ×  est donc  .
     

• Déterminons une primitive de .

  Pour remplir cette mission, nous pourrions faire comme précédemment, nous appuyer sur notre théorème. En effet, nous avons que :

  = 3.x (x² + 1)^-0,5Mais nous allons essayer d'être plus naturel !

  En effet, est presque de la forme . Faisons apparaître cette dernière !

  

  Une primitive de    de est donc  3 × .

  De manière générale : Si u est une fonction dérivable et strictement positive  alors  une primitive

  Remarque : cette formule ne permet pas de déterminer des primitives de fonctions de la forme . Néanmoins, certaines d'entre elles ont une primitive. En voici-quelques unes. Une primitive de    est  arcsin(x). Une primitive de    est  ln( + x). Une primitive de    est  ln( + x).

  
   
• Une primitive de ln(x)/x.
  Pour déterminer une primitive de la fonction , on peut utiliser notre théorème.
  En effet, pour tout réel strictement positif x, on a que :

  

  Une primitive de    est donc  × [ln(x)]².
  A voir également : une primitive de .

   
• Une primitive de cos(x).sin(x).
  Le théorème permet aussi de déterminer une primitive de cos(x).sin(x).
  En effet, pour tout réel x, on peut écrire que :

  cox(x) . sin(x) = u'(x) . u(x)

  Une primitive de  cos(x) . sin(x)  est donc   × [sin(x)]².

Primitives de fonctions exponentielles.
Les fonctions exponentielles ne se limitent pas à exp. Il y a aussi toutes les autres : celles de la forme a^x où a est un réel strictement positif.
Nous savons que la dérivée de  a^x  est  ln(a) × a^x.
De même, la dérivée de  a^u(x)  est  u'(x) × ln(a) × a^u(x).
A partir de ces deux formules, il est possible de mettre sur pied un théorème permettant de donner une primitive d'une fonction exponentielle. 

Voyons comment ses formules fonctionnent sur quelques exemples :

• Primitive de l'exponentielle d'une fonction affine.
  Une primitive de  e^x+1  est  e^x+1.
  Une primitive de  3^x-2  est  × 3^x-2.

  Par contre, pour déterminer une primitive de  e^3.x+1, il faut modifier l'écriture de cette dernière de façon à faire apparaître u'(x) qui ici vaut 3.
  Pour tout réel x, on peut donc écrire que :

  

  Une primitive de  e^3.x+1  est donc  × e^3.x+1.

  De la même façon, pour intégrer  2^3.x+1, il faut y faire apparaître  u'(x).
  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  

  Une primitive de  2^3.x+1  est donc  × × 2^3.x+1.

  De manière générale : Une primitive de  em.x+p   est   × em.x+p. Une primitive de   am.x+p   est   × × am.x+p.

   
• Quelques autres primitives.
  De manière générale, on recourt assez peu aux primitives des fonctions exponentielles. Nous allons en donner quelques-unes, histoire de faire le nombre...

  Une primitive de  x . e^x²  est   × e^x².

  Une primitive de  x . 2^x²  est  × × e^x².

  Tout cela avance à peu chose. C'est la simple application de notre théorème... 

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