Elle rappelera sans doute quelque chose à ceux qui ont déjà "fait" l'exponentielle.
Le premier membre  3^2.x + 3^x - 2   peut faire penser à un trinôme.
D'ailleurs c'en est un... où 3^x a remplacé la variable X ! En effet d'après la propriété 6, nous pouvons écrire que :

3^2.x + 3^x - 2 = (3^x)² + 3^x - 2

Factoriser  X² + X - 2   nous permettra comme dans le cas de l'expoenentielle de résoudre notre équation.

Après de petits calculs, on trouve que :  X² + X - 2 = (X - 1) . (X + 2).
L'attaque peut alors débuter.

Or un produit de deux facteurs est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul.

ou

3x + 2 = 0 3x = -2 Comme une puissance réelle est toujours strictement positive, 3x ne peut pas être égale à -2. Donc il n'y a ici aucune solution...

Nous allons nous intéresser aux limites à l'infini de deux fonctions constituées de puissances réelles.
Nous traiterons successivement les fonctions :

A présent, les choses sérieuses peuvent commencer...

• Déterminons la limite de  f(x) = 3.x^4,1 - x² + x^0,4   lorsque x tend vers +.

  Lorsque que x tend vers +, on a alors que :

  Nous allons donc devoir ruser pour trouver l'écriture qui nous permettra de conclure !

  Une chose est frappante : f(x) ressemble à un polynôme même si ce n'en est pas un !
  Nous allons donc faire comme pour les polynômes : factoriser par le terme de plus haut degré x^4,1 !
  Pour tout réel strictement positif x, on peut donc écrire que :

  

  Or lorsque  x tend vers +,

  x-2,1 et x-3,7  tendent vers 0 donc  3 - x-2,1 + x-3,7 tend vers 3 donc  f(x) tend vers +.

  Conclusion : lorsque x tend vers +,  f(x) s'en va également vers +. A l'instar des polynômes auxquels il ressemble, c'est son terme de plus haut degré  3.x4,1  qui a impose à l'infini sa loi à f(x).

   

• Déterminons la limite lorsque x tend vers + de g(x) = .

  Là comme avant, nous sommes en présence d'une superbe forme indéterminée. Pour débloquer la situation, nous allons devoir modifier l'écriture de g(x).
  g(x) est une sorte de quotient de deux polynômes à puissances réelles. Nous allons donc suivre l'exemple des fonctions rationnelles. Nous allons factoriser les numérateur et dénominateur par leurs termes de plus haut degré.
  Pour tout réel strictement positif x, on peut donc écrire que :

  

  Une première chose à dire est que la limite de x^0,2 en + est + (l'exposant est positif...).

  Ensuite lorsque  x tend vers +,

  x-1,6 et x-1,9  tendent vers 0 donc    tend vers 1 donc  g(x) tend vers +.

  Conclusion : lorsque x tend vers +,  g(x) s'en va également vers +. A l'instar des fonctions rationnelles auxquelles il ressemble, le quotient g(x) a la même limite l'infini que le quotient de ses termes dominants .

Une chose que nous savons est que plus a est grand, plus la croissance de l'exponentielle de base a est rapide et forte.
En nous servant de ce renseignement, nous allons pouvoir déterminer les limites à l'infini des deux fonctions suivantes :

Tout cela avec toujours la même méthode : la factorisation par le terme le "plus fort".

• Déterminons la limite de  f(x) = 3^x - 2 × 5^x   lorsque x tend vers +.

  Les exponentielles 3^x et 5^x tendant tous les deux vers l'infini, nous sommes donc encore en face d'une forme indéterminée : -
  Pour débloquer la situation, nous allons encore factoriser par le terme le "plus fort". Il s'agit ici de 5^x.
  Pour tout réel x, on peut écrire que :

  

  Or lorsque x tend vers +,

  0,6x tend vers 0, donc  0,6x - 2  tend vers -2, donc  f(x)  tend vers -.

  Conclusion : la limite de f(x) lorsque x tend vers +, est égale à -. Un peu à la manière des polynômes, c'est l'exponentielle le plus fort (ici 5x) qui donne sa limite à f(x).

   

• Déterminer la limite de  g(x) =   lorsque x tend vers +.

  Là comme avant, nous sommes encore en présence d'une forme indéterminée : / .
  En effet, le numérateur  4^x - 1  et le dénominateur  2^x + 3^x  s'en vont tout deux vers l'infini lorsque x tend vers +.
  Pour résorber ce problème, nous allons appliquer à ce quotient la méthode qui est appliquée à d'autres : la factorisation des numérateur et dénominateur par leurs termes de plus haut degré.
  Pour tout réel x, on peut écrire que :  

  

  A présent, nous allons pouvoir conclure...
  Lorsque x tend vers +, s'envole vers +  alors que  4^-x  et    tendent eux vers 0.
  Sachant cela, on peut donc écrire que :

  Lorsque x tend +, le quotient    tend vers 1, donc  g(x)  tend lui vers +.

  Conclusion : la limite de g(x) lorsque x tend vers +, est égale à +. Un peu à la manière des fonctions rationnelles, c'est le quotient des termes les plus forts    qui donne sa limite en + à g(x).

Nous avons déjà eu l'occasion d'assister à la confrontation entre la puissance et l'exponentielle e^x. Cette dernière en était ressorti largement vainqueur.
Nous allons voir ce qu'il advient lorsque l'on remplace l'exponentielle naturelle par a^x.
Pour que le match ait un quelconque intérêt, il faut que les deux fonctions aient pour limite l'infini en +. Dans ce qui suit, nous supposerons donc que :

• a est strcitement positif.
• a^x est strictement plus grand que 1.

Nous pouvons à présent lancer le match !

A gauche, les fonctions puissances		A droite, les fonctions exponentielles
Les fonctions puissances qu'elles soient réelles ou entières mettent beaucoup de coeur à croître. Comme ici x0,7 et x1,7.		Quelle vigueur ! Quelle force ! Quelle croissance ! Voilà les principales qualités des fonctions exponentielles. Notamment des fonctions 2x et 5x.
Ce combat inamical s'annonce déjà comme une véritable boucherie : un vrai choc de titans ! Quel grand moment de math !

Pour déterminer le vainqueur de cette confrontation, nous étudierons le limite lorsque x tend vers +, du quotient .

D'emblée, nous savons que nous sommes encore en présence d'une forme indéterminée : / .
Nous devons donc modifier l'écriture de ce quotient. Pour cela, nous allons utiliser la définition de la puissance réelle : une exponentielle de logarithme.

Pour tout réel x, on peur donc écrire que :

Si nous arrivons à trouver la limite de l'exposant  a . ln(x) - x . ln(a)  alors nous aurons cette du quotient. Poursuivons notre offensive !

A partir de là, la solution du conflit apparaît enfin en vue...

Lorsque x tend vers +,	tend vers 0,
	donc  a . - ln(a)  tend vers  - ln(a)  (qui est négatif car a > 1), donc  a . ln(x) - x . ln(a)  tend vers -, donc le quotient    tend lui-aussi vers 0.

Conclusion : lorsque x tend vers +, le quotient tend vers 0. Autrement dit, lorsque a est strictement positif et lorsque a est strictement supérieur à 1 : Toute fonction exponentielle ax  impose à l'infini sa loi à n'importe quelle fonction puissance xa.

Ainsi donc :

• Les limites des quotients  , et   lorsque x tend vers +, sont toutes égales à 0.
• Les limites des quotients  et lorsque x tend vers +, sont toutes les deux égales à +.

Car ce qui compte, ce n'est pas la valeur de l'exposé ou de l'exposant mais les natures des fonctions en présence...

Une des conséquences du match ci-dessus est qu'il nous est désormais possible de déterminer certaines limites : celles à l'infini de fonctions comportant des puissances et des exponentielles.
Illustration avec les deux fonctions suivantes :

Les choses sérieuses peuvent commencer.

• Déterminons la limite lorsque x tend vers +, de  f(x) = x⁵ - 2^x + 1.

  Lorsque x galope vers +, f(x) est une forme indéterminée de la forme : - .
  Il va donc nous falloir ruser et modifier l'écriture de cette pauvre fonction.
  L'astuce est toujours la même : nous allons factoriser f(x) par son terme le plus fort. Vu le résultat du match, il s'agit de 2^x.
  Pour tout réel strictement positif x, on peut écrire que :

  

  Or lorsque x tend vers +,	et  2-x  tendent vers 0,
  	donc  - 1 + 2-x  tend vers -1, donc  f(x)  tend vers -.

  Conclusion : la limite de lorsque x tend vers +, est égale à -. Là encore comme ailleurs, c'est le terme "le plus fort" 2x qui a imposé sa limite à  f(x).

   

• Déterminons la limite lorsque x tend vers +, de  g(x) = .

  C'est encore et toujours la même histoire : nous sommes face à une forme indéterminée lorsque x s'en va vers l'infini.
  Nous devons donc modifier l'écriture de g(x) pour espérer répondre à la question...
  Nous allons factoriser le numérateur et le dénominateur par leurs termes les "plus forts". Il s'agit de x⁴ pour le haut et de 2^x pour le bas...
  Pour tout réel strictement positif x, on peut donc écrire que :

  

  La solution est désormais en vue.
  En effet, nous savons qu'en +, les quotients et ont pour limite 0.
  A partir de là :

  Lorsque x tend vers +,	1 - x-3 + x-4  et  1 -   tendent tous les deux vers 1,
  	donc leur quotient tend aussi vers 1, donc g(x) tend vers 0.

  Conclusion : la limite de g(x) lorsque x tend vers , est égale à 0. Là encore, c'est le quotient des termes dominants qui a imposé à l'infini sa limite à  g(x).