Quasiment tous les élèves de Première et d'après sont amenés à étudier les suites arithmétiques. Nous ferons en sorte de dépasser tout carcan...

Des suites en général...

De leur définition.
A en croire le P'tit Larousse, une suite serait une famille de réels indexée par l'ensemble des entiers naturels.
En d'autres termes plus compréhensibles, une suite serait un ensemble infini où chaque élément se verrait attribuer un numéro (ou un entier naturel). Ce serait quelque chose de la forme :

	Elément 0	Elément 1	Elément 2	....	Elément 806	Elément 807	Elément 808	....
Famille	5	7	-4	....			3,45	....

Notre exemple initial

De façon plus simple, on peut dire qu'une suite est une fonction qui est définie sur et non sur un intervalle.

Définition d'une suite. Une suite (un) est une fonction définie sur l'ensemble et qui à tout entier naturel n associe un et un seul réel noté un. Autrement écrit : (un) : n  un = u(n) Note : l'image de l'entier n est notée un au lieu de u(n).

Ainsi :

• (u_n) désigne la suite. On aurait pu l'appeler u comme une fonction peut s'appeler f. Mais l'usage veut que ce soit (u_n). C'est en fait une histoire de famille...
   
• u_n désigne l'image de n par la suite/fonction u. Là encore, la notation aurait très bien pu être u(n). Mais l'usage en a décidé différemment.
   

  A retenir : On dit aussi que un est le terme de rang n de la suite.

Par rapport à notre exemple initial, nous pouvons écrire que :

Définir une suite.
Avec quoi peut-on définir une suite ?
Certains diront avec un peu de volonté. Certes, mais cela ne suffit pas !

Plus sérieusement, il y a deux manières de définir une suite :

• Par une formule explicite comme une fonction.
  Par exemple, on peut parler de la suite (u_n) définie pour tout entier n par :

  Pour calculer u₃₄, il suffit juste de remplacer n par 34. C'est comme pour les fonctions.
  Cette suite est en fait une émanation de la fonction  f(x) = .
  En effet, pour tout entier n,  u_n = f(x).

  Mais toutes les suites ne sont pas nécessairement des émanations de fonctions.

  Cela pourrait être le cas de la suite  vn = (-1)n. En fait non car c'est l'émanation de la fonction   f(x) = cos(x × ).

   

  Le truc en plus : lorsque qu'une suite émane d'une fonction, elle en adopte alors toutes les propriétés positives, c'est-à- que dire :    Si la fonction est croissante alors la suite l'est aussi. La suite peut être croissante sans que la fonction le soit.

   
   
• Par une formule de récurrence.
  C'est-à-dire qu'un terme est défini par rapport au précédent.
  Par exemple, on peut considérer la suite (u_n) définie par :

  

  Pour calculer u₃₄, il faut auparavant se farcir u₁, u₂, ...., u₃₂ et u₃₃. C'est-à-dire tous les termes qui le précèdent...
  Un vrai travail de calculatrice ou d'ordinateur !
  C'est pour cela que le plus souvent, on essaie de trouver une formule explicite. Sauf que parfois il n'y en a pas...

Il existe certainement d'autres façons de définir des suites mais elles ne sont quasiment pas employées au lycée. C'est pour cela que nous nous bornerons à ces deux manières.

Des suites bornées.
Une suite est dite bornée si elle ne dépasse pas une certaine borne !
Pratiquement, on peut être borné par le bas ou par le haut : on parle alors de minoration ou de majoration.

Définition d'une suite minorée ou majorée. Dire que la suite (un) est minorée par le réel m  signifie que  pour tout entier n, un m. Dire que la suite (un) est majorée par le réel M  signifie que  pour tout entier n, un M.

Comme nous le verrons par la suite, la "bornation" sert surtout lorsqu'il s'agit de déterminer des limites...

De la monotonie.
Une chose monotone est une chose qui ne change pas. Il en va aussi ainsi pour les suites.
Une suite est dite monotone lorsqu'elle a toujours le même sens de variation, c'est-à-dire lorsqu'elle est exclusivement croissante ou bien décroissante ou bien constante.

La définition de la croissance ou de la décroissance est exactement la même que celle des fonctions. A savoir :

Mais dans la pratique, ce n'est pas cette caractérisation que l'on utilise.
En effet, contrairement aux fonctions, dans une suite on connaît le terme qui vient après un autre. En effet :

Qu'y a-t-il après f(2) ? 
Personne ne peut répondre car on a l'embarras du choix. Est-ce f(2,1) ou f(3) ?

Qu'y a-t-il après u₂ ? Tout le monde répondra u₃.
L'avantage d'une suite est que tous les termes se suivent d'où d'ailleurs son nom !

Ainsi lorsqu'une suite est croissante, tous les termes sont rangés dans un certain ordre : l'ordre croissant. On a alors que :

u₀ u₁ u₂ u₃ .... u_n-1 u_n u_n+1 ...

Autrement dit, si je prends deux termes consécutifs quelconques alors ils doivent être rangés dans un certain ordre. C'est cette caractérisation que l'on utilise pour démontrer qu'une suite est croissante : la différence de deux termes consécutifs quelconques.

C'est avec cela que l'on démontre qu'une suite est monotone.

	Démontrer la monotonie d'une suite. On considère la suite (un) définie pour tout entier n par : un = n2 + 5.n Démontrer que cette suite est monotone. Pour remplir cette mission, nous allons utiliser notre dernier théorème : nous allons regarder comment sont deux termes consécutifs quelconques un et un+1 Pour cela, nous allons nous intéresser au signe de leur différence  un+1 - un. Pour tout entier n, on peut écrire : Or n est un entier naturel donc il est positif comme  2.n + 1. Pour tout entier naturel, on a  un+1 - un 0   c'est-à-dire   un+1 un. Donc la suite (un) est croissante. Conclusion : la suite (un) est monotone : elle ne fait que croître. Pour la décroissance, on procède de même ! Le truc en plus : lorsque la suite (un) est définie par récurrence alors la différence un+1 - un  donne quelque chose en fonction de un. Pour connaître le signe de la différence et conclure quant à la monotonie, il importe alors d'avoir certains renseignements sur un : par exemple son signe. Mais tout cela est une autre histoire...

Pour voir un autre exemple de démonstration, cliquez ici !

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
(c) AMLTI Décembre 2000/Janvier 2003. Tous droits réservés.