Les fonctions affines : graphiquement...

Pour mieux visualiser ce qu'est une fonction, on la représente par sa courbe. C'est en particulier le cas pour les fonctions affines dont la courbe est très particulière puisqu'il s'agit d'une droite.

Représentation graphique d'une fonction affine.
Une fonction affine, c'est bien beau mais à quoi cela ressemble-t-il ?
Pour le savoir, on peut tracer à partir de points la courbe représentative de la dite fonction affine.
Nous allons voir tout cela sur un exemple...

Et ce qui est vrai pour cette fonction affine f l'est pour toutes les autres...

Conséquence : pour tracer la représentation graphique (ou la courbe) d'une fonction affine, il suffit donc de connaître deux points de cette courbe. Il suffit donc de calculer les images de deux nombres x. Car deux points suffisent à tracer une droite...
Illustration avec ce qui suit...

Droite et fonction affine.
Nous venons de voir que la représentation graphique d'une fonction affine était une droite. Mais réciproquement, lorsque l'on a une droite, est-elle la courbe d'une fonction affine ?

Voilà un beau théorème. Mais quelle est sa réelle portée ? Plus simplement : à quoi sert-il ou à quoi peut-il servir ?
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser un exemple. C'est ce qui suit :

Explication du théorème. Plaçons-nous dans un repère orthonormé. Intéressons-nous à la droite D qui passe par les points A(1 ; 3) et B(3 ; 7). Nous allons expliquer avec cette droite ce que signifie notre théorème. Nous allons le reprendre point par point.   "il existe une fonction affine  f(x) = a.x + b dont D est la courbe représentative" C'est bien beau de savoir qu'il en existe une, mais comment peut-on la déterminer ? En fait, il existe deux chemins pour trouver cette fonction f.   "Une formule permet de calculer le coefficient a" Nous avons utilisé la formule dans le premier point pour déterminer la fonction f. Rappelons dans le cas présent : a = 2       et      b = 1 Mais que représente a ? Quelle est sa signification ? Le nombre a est le coefficient directeur de la droite D. Certains l'appellent pente de la droite D. La pente de la droite est égale à 2. Lorsque l'on avance de 1 carreau en abscisse, la courbe grimpe de 2 carreaux en ordonnée. Plus le coefficient directeur a est grand, plus la droite D monte vite... Enfin le coefficient directeur d'une droite qui descend est négatif...     "L'équation réduite est un test d'appartenance" D'après ce que nous avons fait, nous pouvons dire que l'équation réduite de la droite D est : y = 2.x + 1 Nous allons voir en quoi elle constitue le test d'appartenance annoncé. Intéressons-nous aux points E(1,5 ; 4) et F(3 ; 6). La question est : font-ils partie de la droite D ? Certains diront que la figure permet de répondre à cette question. Seulement aussi parfait soit-il, un dessin est toujours approximatif. Ce n'est pas parce que sur le dessin, la droite D semble passer par le point E qu'elle y passe réellement...  Pour trancher la question, nous allons regarder si les coordonnées de E et de F vérifient l'équation réduite de la droite D.   ® Pour le point E(1,5 ; 4), on calcule :   2.xE + 1 =  2 × (1,5) + 1 = 3 + 1 = 4 = yE Comme   2.xE + 1 est égal à   yE  alors les coordonnées du point E vérifient l'équation réduite de D. Le test est vérifié. Donc E fait bien partie de cette droite D.  ® Pour le point F(3 ; 6), on calcule :   2.xF + 1 =  2 × (3) + 1 = 6 + 1 = 7 Comme   2.xF + 1  est différent de  yF  alors les coordonnées du point F ne vérifient pas l'équation réduite de D. Le test n'est pas vérifié. Donc F ne fait pas partie de cette droite D.

Quelques trucs à savoir... faire.
Pour conclure cette page, nous allons passer en revue certaines compétences que vous devez maîtriser car elles sont bien utiles. Au programme :

• savoir trouver l'image d'un nombre x à partir d'une droite.
• savoir trouver l'antécédent d'un nombre y à partir d'une droite.
• savoir déterminer les coefficients a et b à partir d'une droite.

Et maintenant, au boulot !

Savoir déterminer graphiquement l'image d'une nombre. Pour déterminer l'image d'un nombre x par une fonction f, on peut se lancer dans des calculs. On peut aussi utiliser la droite D qui est la courbe de cette dernière. La courbe représentant la fonction affine f est la droite D ci-contre. Déterminons graphiquement l'image de 2,5 par cette fonction f. Le raisonnement est le suivant : Sur l'axe des abscisses, on repère la graduation correspondant à 2,5 Puis on place le point M de la droite D qui a pour abscisse 2,5 Enfin, on lit l'ordonnée de ce point M. Il s'agit de 2,75. Donc f(2,5) = 2,75 Conclusion : l'image de 2,5 par la fonction f est égale à 2,75.

Savoir déterminer graphiquement l'antécédent d'un nombre. Comme pour l'image, pour déterminer l'antécédent d'un nombre par une fonction f, il y a deux voies : l'une va par le calcul, l'autre utilise la courbe représentant la fonction. La courbe représentant la fonction affine f est la droite D ci-contre. Note : c'est toujours la même... Déterminons graphiquement l'image de 2,5 par cette fonction f. Le raisonnement est le suivant : Sur l'axe des abscisses, on repère la graduation correspondant à 3,5 Puis on place le point N de la droite D qui a pour ordonnée 3,5 Enfin, on lit l'abscisse de ce point N. Il s'agit de 3. Donc l'antécédent de 3,5 par f est égal à 3. Conclusion : l'antécédent de 3,5 par f est égal à 3.

Savoir déterminer graphiquement une fonction affine. Si une droite D représentant la fonction affine  f(x) = a.x + b  n'est pas trop "compliquée", il est possible de déterminer graphiquement les coefficients a et b de celle-ci. Voyons cela sur deux exemples :   Exemple premier. Déterminons graphiquement les coefficients a et b de la fonction f correspondant à la droite D ci-contre a est appelé coefficient directeur ou pente de de la droite D. Il correspond à la variation d'altitude ou d'ordonnée lorsque l'on avance d'un carreau ou d'une unité en abscisse. Lorsque l'on progresse d'une unité en abscisse, la droite monte de 1,5 en ordonnée. Donc  a = 1,5. Le coefficient b est l'ordonnée du point M de la droite D dont l'abscisse est nulle. Le point M a pour coordonnées (0 ; -1). Donc b est égal à -1 Conclusion :la fonction affine est f(x) = 1,5 . x - 1.   Exemple second. Déterminons graphiquement les coefficients a et b de la fonction f correspondant à la droite D ci-contre Lorsque l'on progresse d'une unité en abscisse, la droite descend de 0,5 en ordonnée. Donc  a = -0,5. Le coefficient b est l'ordonnée du point M de la droite D dont l'abscisse est nulle. Le point M a pour coordonnées (0 ; 1). Donc b est égal à 1 Conclusion :la fonction affine est f(x) = -0,5 . x + 1.

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