5°) Colinéarité et conséquences.
Dire que deux droites sont parallèles signifie qu'elles ont même direction ! On définit une notion similaire pour les vecteurs.
Remarques :
Pourquoi impose-t-on que 
soient non nuls ?
Tout simplement parce qu'un vecteur nul n'a pas de direction définie. Et donc parler de colinéarité avec un vecteur nul, cela n'a tout simplement aucun sens... ou plutôt aucune direction.
Mais par convention, on dit que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan...
La relation de colinéarité est symétrique. C'est-à-dire que si les vecteurs sont colinéaires alors il en va de même pour 
. Ce qui est vrai dans un sens est vrai dans l'autre !
Las des vecteurs à une lettre, revenons aux vecteurs à deux lettres.
Dire que les vecteurs 
et 
sont colinéaires équivaut à dire que et ont même direction.
Autrement dit, à ce que les droites (AB) et (CD) aient même direction. C'est-à-dire à ce qu'elles soient parallèles.
C'est ce qu'énonce le théorème suivant :
Remarque :
Pourquoi impose-t-on que A soit distinct de B, et que C soit distinct de D ?
Tout simplement parce que si A et B étaient confondus alors d'une part le vecteur serait égal au vecteur nul et d'autre part, parler de la droite (AB) n'aurait aucun sens !
Il en va de même pour les points C et D.
Revenons à présent à nos vecteurs monolettriques !
Un grand avantage de la colinéarité sur le parallèlisme est qu'une relation d'égalité lie les vecteurs. Ce qui n'est pas le cas des droites !
Remarque :
Une équivalence se lit dans les deux sens. Ainsi ce théorème dit-il que :
"si sont colinéaires alors il existe un réel k non nul tel que 
".
Et réciproquement : "s'il existe un réel k non nul tels que alors sont colinéaires."
La démonstration de ce théorème est difficile. Mais elle est disponible.
Colinéarité, parallèlisme et alignement.
Nous avons sous la main tous les outils pour caractériser vectoriellement le parallèlisme de deux droites ou l'alignement de trois points.
La preuve :
Nous allons démontrer ce théorème par équivalence. Elle combine successivement les théorèmes 5.2 et 5.3.
En effet :
Et on a un autre théorème qui permet de caractériser vectoriellement la colinéarité de trois points.
Remarque :
Pourquoi impose-t-on que les points A, B et C soient distincts ?
Tout simplement parce que, par exemple, si A était confondu avec B alors les points A, B et C seraient de fait alignés ! Ce qui n'aurait aucun intérêt !
Car deux points distincts sont toujours alignés !
La preuve :
Là encore, nous allons procéder par équivalence en utilisant que le seul théorème 5.4.
