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Pour tracer les droites D et , il nous faut connaître deux de leurs points. La forme de leurs équations cartésiennes indique que D et coupent les axes.

Lorsqu'une droite est parallèle à l'un des axes (abscisses ou ordonnées) alors son équation cartésienne est soit de la forme a.x + c = 0 ou bien de la forme b.y + c = 0. Ce n'est ni le cas pour D, encore moins pour .

Ainsi l'une comme l'autre comportent des points dont les abscisses ou les ordonnées sont nulles. En effet, tout point de l'axe des abscisses (l'axe horizontal) a une ordonnée nulle. De même, tout point de l'axe des ordonnées (l'axe vertical) a une abscisse nulle.

Pour D :

• Si x = 0 alors –2.y = -28 c'est-à-dire y = 14. La droite D coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 14).
   
• Si y = 0 alors 10.x = -28 c'est-à-dire x = -2,8. La droite D coupe l'axe des abscisses en (-2,8 ; 0).
   

Pour :

• Si x = 0 alors y = 18/5 = 3,6. La droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 3,6).
   
• Si y = 0 alors x = 18. La droite coupe l'axe des abscisses en (18 ; 0).
   

Ayant deux points pour chacune des droites, nous pouvons faire notre la figure.

b) Avant d'aller plus loin, calculons les coordonnées de certains vecteurs. Ainsi nous saurons désormais que : (-4 ; 1), (-1 ; -5) et (-3 ; -6).
Pour voir si le triangle (ABC) est rectangle en A, il y a quatre cheminements possibles :

• Utiliser le théorème de Pythagore. Il faut alors calculer AB², AC² et BC².
  Connaissant les coordonnées des vecteurs correspondants, il vient que : Comme AB² + AC² = 43 et que BC² = 45, le triangle (ABC) n'est donc pas rectangle en A.
   
• Utiliser le test d'orthogonalité de deux vecteurs sur  et . C'est certainement la solution la plus rapide.
  Comme (-4) ´ (-1) + 1 ´ (-5) = -1, les vecteurs  et  ne sont pas orthogonaux. Donc le triangle (ABC) n'est pas rectangle en A.
   
• Déterminer une équation cartésienne pour les droites (AB) et (BC), puis utiliser le test de perpendicularité sur les équations cartésiennes. C'est la solution la plus longue.
  Un vecteur directeur de la droite (AB) qui passe par A(2 ; 3), est (-4 ; 1). On détermine alors une équation cartésienne de cette droite. Il s'agit de : x + 4.y – 14 = 0.
  De la même manière, (AC) qui passe par A, admet est  pour vecteur directeur. Une équation cartésienne est donc : -5.x + y + 7 = 0.
  Ayant deux équations cartésiennes, on peut utiliser le test : 1 ´ (-5) + 4 ´ 1 = -1 ¹ 0 Les droites (AB) et (AC) n'étant pas perpendiculaires, le triangle (ABC) n'est donc pas rectangle en A.
   
• Déterminer les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC), puis utiliser le test de perpendicularité sur ceux-ci (leur produit doit être égal à -1).
  Comme les points A et B n'ont pas même abscisse, on peut calculer le coefficient directeur m_(AB) de la droite (AB). Il en va de même pour m_(AC). Ainsi : Et finalement : Les droites (AB) et (AC) ne sont donc pas perpendiculaires. Par conséquent, le triangle (ABC) n'est pas rectangle en A.
   

c) Nous connaissons une équation cartésienne de la droite D et un vecteur directeur de (AC). Pour voir si ces deux droites sont parallèles, deux possibilités sont à envisager :

• On détermine une équation cartésienne de (AC), puis on applique le test de parallélisme correspondant.
  La droite (AC) qui passe par A(2 ; 3), admet (-1 ; -5) pour vecteur directeur. On détermine alors une équation cartésienne de cette droite. -5.x + y + 7 = 0.
  En appliquant le test sur les deux équations connues, il vient que : Les droites D et (AC) sont donc parallèles.
   
• on détermine un vecteur directeur de la droite D et l'on regarde s'il est colinéaire à un vecteur directeur de (AC) grâce au déterminant.
  Comme 10.x – 2.y +28 = 0 est une équation cartésienne de D, un vecteur directeur de cette droite est le vecteur (2 ; 10). Regardons si ce vecteur est colinéaire à . Ces deux vecteurs directeurs sont donc colinéaires. En conséquence, D et (AC) sont parallèles.
   

Là encore, pour répondre à la question, deux cheminements sont possibles;

On peut montrer qu'elles sont perpendiculaires à partir de leurs équations cartésiennes.
Nous savons qu'une équation cartésienne de la droite (AC) est -5.x + y + 7 = 0.
Une équation de est x + 5.y –18 = 0. On applique le test de perpendicularité correspondant. Les droites (AC) et sont donc perpendiculaires.
 

On peut montrer qu'un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
x + 5.y – 18 = 0 étant une équation cartésienne de , un vecteur directeur de cette droite est le vecteur (5 ; -1). Regardons si ce vecteur est orthogonal à (-1 ; -5) avec notre test. 5 ´ (-1) + (-1) ´ (-5) = -5 + 5 = 0 Donc les vecteurs  et  sont orthogonaux. Par conséquent, les droites et (AC) sont perpendiculaires.
 

Pour vérifier qu'un point appartient à une droite dont on connaît une équation, il suffit de remplacer x et y par les coordonnées de ce point.
Pour la droite D, on remplace dans le premier membre x et y par –2 et 4 et on regarde ce qui passe :

Comme ses coordonnées vérifient son équation cartésienne, le point B fait donc partie de la droite D.
De même pour la droite : Donc B fait aussi partie de la droite .

 

d) Il s'agit là d'une question de cours.
Si G est le centre de gravité de (ABC) alors .

La relation vectorielle précédente va nous permettre de trouver les coordonnées de G.
Si on appelle (x_G ; y_G) les coordonnées de G alors (x_G – 2 ; y_G – 3), (x_G + 2 ; y_G – 4) et (x_G – 1 ; y_G + 2).
Donc ++ a pour coordonnées

Or le vecteur ++ est égal au vecteur nul. L'un et l'autre ont donc des coordonnées égales. Ainsi : Le point G a donc pour coordonnées (1/3 ; 5/3).
Le centre de gravité étant le point d'intersection des médianes du triangle (ABC), on aurait pu déterminer les coordonnées de G en déterminant une équation cartésienne pour deux de celle-ci. Il aurait suffi ensuite d'en rechercher le point d'intersection (résolution d'un système). Cependant cette solution est nettement plus longue...

Le centre de gravité d'un triangle est le point de concours de ses médianes. Celle issue de C passe donc aussi par G.
La médiane issue de C est la droite (GC) dont un vecteur directeur est (2/3 ; -11/3).
Connaissant un de ses points (par exemple C) et l'un de ses vecteurs directeurs, on détermine sans peine l'une de ses équations cartésiennes. Par exemple (après simplification) : 11.x +2.y - 7 = 0.

 

e) La hauteur issue de A est la droite qui passe par ce point et qui est perpendiculaire à la droite (BC). Pour déterminer une équation cartésienne de cette hauteur, nous allons recourir à l'un de ses vecteurs normaux.
On appelle ' la hauteur du triangle (ABC) issue de A. Comme ' est perpendiculaire à la droite (BC), le vecteur (3 ; -6) est donc un vecteur normal de '.la hauteur issue de A.
Connaissant un de ses points (à savoir A) et un de ses vecteurs normaux, on peut déterminer une équation cartésienne de '. On trouve : x – 2.y + 4 = 0.

L'orthocentre est le point de concours des hauteurs d'un triangle. Théoriquement, pour trouver ses coordonnées, il suffit de connaître une équation cartésienne de deux de ces hauteurs. Comme nous connaissons déjà une équation de ', il faudrait donc déterminer une équation de la hauteur passant par B ou de celle issue de C. En fait, on s'en passait. Explications :
On appelle (x_H ; y_H) les coordonnées du point H.
Au c, nous avons démontré que les droites (AC) et étaient perpendiculaires. Nous avons aussi vérifié que B appartenait à cette droite . Celle-ci est donc la hauteur issue de B dans le triangle (ABC).
H est donc le point d'intersection des droites et '. Ses coordonnées vérifient leurs équations cartésiennes. Ainsi :

Il suffit alors de résoudre ce système. On trouve alors que H(16/7 ; 22/7).

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