1°) Partition du plan par une droite.

C'est une évidence de dire cela, mais une droite partage un plan en deux ! Mais si une droite peut être caractérisée par une équation (de droite), les deux demi-plans peuvent l'être avec des inéquations...C'est ce que montre le théorème suivant !

L'applette suivante illustre le théorème :


Applette illustrant la partition du plan par une droite.


Quelques remarques :

Pour tous les points M(x ; y) d'un même demi-plan, l'expression a.x + b. y + c garde le même signe. Ainsi si pour un point quelconque de ce demi-plan, l'expression est positive alors elle est positive pour tous les autres points de celui-ci. Et elle sera négative sur l'autre demi-plan.
Pour associer à chaque demi-plan le signe qui lui correspond, une bonne astuce consiste à regarder l'origine O(0 ; 0) car alors a.x + b. y + c = c...
Le signe de c donne le signe du demi-plan auquel O appartient.
Et quand O appartient à la droite, et bien on choisit un autre point !

L'ensemble des points M(x ; y) pour lesquels l'expression a.x + b.y + c est nulle est la droite D.

Deux équations cartésiennes peuvent se rapporter à une même droite.
C'est par exemple le cas de x – y + 1 = 0 et y – x –1 = 0 qui sont deux équations de la droite D.

Cette droite partage le plan en deux demis-plan :
P1 et P2.

Mais attention :
- Pour tout point M(x ; y) de P1, l'expression x – y + 1 est positive. Par contre, l'expression y – x –1 est négative.
- De même, sur le demi-plan P2, l'expression x – y + 1 est négative alors que y – x –1 est positive.
C'est l'origine qui permet de dire cela. O fait partie du demi-plan P).
Faites le test avec l'applette ci-dessus.
Comme quoi, tout dépend de l'équation de droite considérée ! Alors faites attention !

 

 

2°) Résolutions graphiques de quelques systèmes d'inéquations.

Une applette aide à la résolution des ces systèmes.

Un exemple de résolution de deux inéquations.

Il s'agit de déterminer graphiquement l'ensemble des points M(x ; y) vérifiant ce système. Pour cela, nous utiliserons ce que nous avons fait au paragraphe précédent. La résolution est l'animation ci-dessous.

 

Un exemple de résolution de trois équations.

La nouveauté outre le nombre d'inéquations (trois au lieu d'une paire), c'est l'"inférieur ou égal" de la première inéquation. Passons à la résolution !

Première inéquation x + 2.y – 2 0.

La droite D passe par les points de coordonnées (0 ; 1) et (2 ; 0).
Elle partage le plan en deux demi-plans : P1 (en vert) et P2(en jaune).
Pour le point O(0 ; 0), l'expression x + 2.y – 2 vaut –2. L'expression est donc négative sur P1 (dont O fait partie) et positive sur P2.
L'ensemble des points solutions de cette première inéquation est le demi-plan P1 (négatif) avec la droite D (ou nul).

Seconde inéquation 5.x – 4.y – 24 < 0.

La droite D' passe par les points de coordonnées (0 ; -6) et (4 ; -1).
Elle partage le plan en deux demi-plans : P'1 (en vert) et P'2(en jaune).
Pour le point O(0 ; 0), l'expression 5.x – 4.y – 24 vaut –24. L'expression est donc négative sur P'1 (dont O fait partie) et positive sur P'2.
L'ensemble des points solutions de cette seconde inéquation est le demi-plan P'1 (négatif).

Dernière inéquation 3.x + y + 4 < 0.

La droite D" passe par les points de coordonnées (-1 ; -1) et (0 ; -4).
Elle partage le plan en deux demi-plans : P"1 (en vert) et P"2(en beige).
Pour le point O(0 ; 0), l'expression 3.x + y + 4 vaut 4. L'expression est donc positive sur P"2 (dont O fait partie) et négative sur P"1.
L'ensemble des points solutions de cette dernière inéquation est le demi-plan P"2 (négatif).

Il ne nous reste plus qu'à récapituler tout cela.

Une remarque :

L'ensemble des points solutions du système est l'intérieur du triangle (ABC) et le segment ]AB[ (comprenez le segment sans ses extrémités. C'est comme pour les intervalles).

Si nous devons rajouter ce coté du triangle, c'est à cause de la première inéquation. Le " 0" veut dire inférieur ou égal à 0. L'expression x + 2.y – 2 est inférieure à 0 sur le demi-plan P1 et y est égale sur la droite D (qui est aussi la droite (AB) ).

Si nous devons exclure le point A , c'est parce qu'il ne fait pas partie de P"2. En effet, il se trouve sur D".

Quant à B, il ne fait pas partie de P'1.

 

 

3°) Le problème réciproque : caractérisation d'une région du plan par un système.

Nous venons de voir comment résoudre graphiquement un système d'inéquations. Dans ce paragraphe, nous allons faire exactement l'inverse !

Enoncé :
On considère les points A(-1 ; 1), B(2 ; -1) et C(3 ; 2).
Déterminer un système d'inéquations linéaires à deux inconnues dont l'intérieur triangle (ABC) (en vert) est la solution.
Il s'agit de l'intérieur du triangle. Les côtés [AB], [BC] et [AC] n'en font donc pas partie. C'est pour cela qu'ils sont en noir !

La réponse :

Comme nous l'avons vu dans l'exercice précédent, un triangle est l'intersection de trois demi-plans. Chacun d'entre eux est délimité par un côté de ce polygone. Il nous faut donc déterminer trois inéquations : une pour chaque demi-plan.


Pour le coté [AB] : La droite du même nom partage le plan en deux demi-plans : l'un d'entre eux contient l'intérieur du triangle (ABC). C'est lui qui nous intéresse. Appelons-le P1. Remarquons qu'il contient le point C.
Une équation cartésienne de la droite (AB) est –2.x –3.y +1 = 0.
Pour le point C(3 ; 2), l'expression –2.x – 3.y + 1 vaut –11. Elle est donc négative sur le demi-plan P1.
Celui-ci est donc caractérisé par l'inéquation –2.x – 3.y + 1 < 0.


Pour le coté [BC] : La droite (BC) partage le plan en deux demi-plans. On appelle P2 celui qui contient l'intérieur du triangle (ABC). Remarquons que A en fait aussi partie.
Une équation cartésienne de la droite (BC) est 3.x – y – 7 = 0.
Pour le point A(-1 ; 1), l'expression 3.x – y – 7 vaut –11. Elle est donc négative sur P2.
Le demi-plan P2 est donc caractérisé par l'inéquation 3.x – y – 7 < 0.


Pour le coté [AC] : La droite (AC) partage le plan en deux demi-plans. P3 est celui qui contient l'intérieur du triangle (ABC). Il contient donc B.
Une équation cartésienne de la droite (AC) est x – 4.y + 5 = 0.
Pour le point B(2 ; -1), l'expression x – 4.y + 5 vaut 11. Elle est donc positive sur P3.
Le demi-plan P3 est donc caractérisé par l'inéquation x – 4.y + 5 > 0.

La conclusion :

L'intérieur du triangle (ABC) est l'intersection des demi-plans P1, P2 et P3. Celui-ci est solution du système d'inéquations linéaires :


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