Pourquoi est-il utile de connaitre le signe du binôme a.x + b ?
Factoriser une expression, c'est en fait la "casser" pour l'exprimer sous la forme d'un produit où n'apparaissent que des facteurs de degré moindre.
Parmi ceux-ci, on retrouve les binômes de la forme a.x + b.
Par exemple, (x + 2) . (x - 2) est la forme factorisée de x2 - 4.
x + 2 et x - 2 sont deux binômes de la forme a.x + b. En effet :
- pour x + 2 , a = 1 et b = 2.
- pour x - 2, a = 1 et b = -2.
Connaitre le signe de ces deux facteurs, permet de connaitre le signe de leur produit.
D'où l'utilité de ce qui va suivre...
Transition !
Intéressons-nous au binôme 7.x - 3.
Dans le cas binômique présent, a = 7 et b = -3.
On constate que :
- pour x = -1, 7.x - 3 = -10, donc est négatif.
- pour x = 1, 7.x - 3 = 4, donc est positif.
Donc le signe du binôme 7.x - 3 change lorsque x change...
Il y a deux manières pour connaitre le signe du binôme :
- en utilisant les fonctions affines.
- de manière pratique ou expérimentale en résolvant des inéquations.
En utilisant les fonctions affines :
On utilise un résultat provenant de l'étude des fonctions affines.
Rappelons-le :
- Si a est positif alors le tableau de signe du binôme a.x+ b est :
Autrement dit : a.x + b est négatif lorsque x est plus petit que -b/a, vaut 0 en -b/a et est positif après.
Si a est négatif alors le tableau de signe du binôme a.x+ b est :
Autrement dit : a.x + b est positif lorsque x est plus petit que -b/a, vaut 0 en -b/a et est négatif après.
Appliquons cela au binôme 7.x - 3
Ici, a = 7 et b = -3.
Comme a est positif alors ce binôme entre dans le premier cas. Le tableau de signe de 7.x - 3 est donc :
De manière plus expérimentale !
Revenons sur le cas de 7.x - 3.
- Pour savoir quand est-ce que 7.x - 3 est positif, il suffit de résoudre l'inéquation 7.x - 3 > 0.
- Pour savoir quand est-ce que 7.x - 3 est nul, il suffit de résoudre l'équation 7.x - 3 = 0.
- Pour savoir quand est-ce que 7.x - 3 est négatif, il suffit de résoudre l'inéquation 7.x - 3 < 0.
Déterminons pour quelles valeurs de x, le binôme 7.x - 3 est positif.
7.x - 3 est positif
équivaut à
7.x - 3 > 0
équivaut à
7.x > 3
équivaut à
x > 3/7
Donc le binôme est positif lorsque x > 3/7.
Déterminons pour quelles valeurs de x, 7.x - 3 est nul.
7.x - 3 est nul
équivaut à
7.x - 3 = 0
équivaut à
7.x = 3
équivaut à
x = 3/7
Donc 7.x - 3 est nul lorsque x vaut 3/7.
Déterminons enfin, quand est-ce que 7.x - 3 est négatif.
7.x - 3 est négatif
équivaut à
7.x - 3 < 0
équivaut à
7.x < 3
équivaut à
x < 3/7
Donc 7.x - 3 est négatif lorsque x est plus petit que 3/7.
En résumé, il y a trois grandes tendances : avant 3/7 (binôme négatif), en 3/7 (nul) et après (positif).
Le tableau de signe du binôme 7.x - 3 est donc le suivant :
Et ce qui a été fait pour 7.x - 3 peut être fait pour n'importe quel binôme...à condition de faire attention !
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