|
Etude de h(x) = x² - 4.x + 7
|
Avant de nous intéresser à l'étude des fonctions trinomiales en général, nous allons nous intéresser à quelques cas particuliers.
Etudions la fonction h définie par :
h(x) = x2 - 4.x + 7
h est une fonction "trinomiale" à l'instar des fonctions f et g.
Ici, a = -2 b = 6 et c = 7.
Ensemble de définition de cette fonction f.
h(x) est une somme de carrés et de produits. Tous les réels x ont une image par cette fonction f.
Donc :
Dh = R
L'étude de la fonction se fera donc sur l'intervalle ]-¥ ; +¥[.
Courbe représentative.
La courbe représentative de la fonction h est la courbe d'équation y = x2 - 4.x + 7. C'est encore une parabole.
Graphiquement, on constate que la courbe est décroissante sur ]-¥ ; 2]
et croissante sur l'intervalle [2 ; +¥[.
De plus, il semble que h(x) soit toujours positif et que 0 n'ait aucun antécédent par h.
Les deux prochains paragraphes nous verront démontrer ces constatations !
Variations de la fonction h.
Soient x et y deux réels tels que x < y.
Notre but est encore la connaissance du signe de la différence h(y) - h(x).
Là encore, essayons d'exprimer cette différence sous la forme d'un produit.
|
h(y) - h(x)2 |
= (y2 - 4.y + 7) - (x2 - 4.x + 7)
= [y2 - x2] - 4.(y - x)
= (y - x).(y + x) - 4.(y - x)
= (y - x) . [(y + x) - 4]
|
La curée peut commencer.
Comme y est plus grand que x alors le facteur y - x est positif.
De plus :
- Sur l'intervalle ]-¥ ; 2] :
Lorsque x et y sont plus petits que 2, alors y + x < 4
donc le facteur y + x - 4 est négatif.
donc la différence h(y) - h(x) est négative.
En résumé sur l'intervalle ]-¥ ; 2] :
Si x < y alors h(x) > h(y).
Donc la fonction h est décroissante sur l'intervalle ]-¥ ; 2].
- Sur l'intervalle [1,5 ; +¥[ :
Lorsque x et y sont plus grands que 2, alors y + x > 4
donc le facteur y + x - 4 est positif.
donc la différence h(y) - h(x) est positive.
En résumé sur l'intervalle [2 ; +¥[ :
Si x < y alors h(x) < h(y).
Donc la fonction h est croissante sur [2 ; +¥[.
Le tableau de variation de la fonction h est donc :
Conséquence : A la lecture de son tableau de variation, on peut dire h admet un minimum en x = 2. Il vaut 3.
Antécédents de 0 par cette fonction h.
Pour trouver les antécédents de 0, nous devons résoudre l'équation h(x) = 0.
Là, il n'y a pas cinquante mille manières, il faut procéder pareillement à ce qui a été fait avec la fonction f.
Si tout va bien, on ne devrait rien trouver !
|
h(x) = 02
|
équivaut à
x2 - 4.x + 7 = 0
équivaut à
x2 - 4.x + 4 - 4 + 7 = 0
équivaut à
(x - 2)2 - 4 + 7 = 0
équivaut à
(x - 2)2 + 3 = 0
|
A ce niveau de la manoeuvre, il faut dire deux choses :
- (x - 2)2 est toujours positif ou nul car c'est un carré.
- Ajouter 3 à un nombre positif ou nul ne peut donner qu'un nombre strictement positif.
Donc la somme (x - 2)2 + 3 = 0 est toujours strictement positive.
Elle n'est jamais nulle.
L'équation (x - 2)2 + 3 = 0 n'a donc pas de solution.
Donc 0 n'a pas d'antécédent par la fonction h.
Signe du trinôme x2 - 4.x + 7.
Déterminons le signe du trinôme h(x) en fonction de x.
En fait, à partir du tableau de variation de h, on peut déjà répondre à la question posée.
Donc, en résumé :
- h(x) est toujours positif.
Un autre chemin...
Nous aurions pu aussi dresser le tableau de signe de h(x) en utilisant une chose déjà vue.
En effet, on montre que pour tout réel x,
h(x) = (x - 2)2 + 3
Or comme nous l'avons déjà dit, (x - 2)2 + 3 = 0 est toujours strictement positif.
En conséquence, le tableau de signe de h(x) est donc :
Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par
la taverne de l'Irlandais.
(c) AMLTI Juillet 1999/Janvier 2003. Tous droits réservés.
