Après avoir défini les différents termes et notions qui nous serons utiles, nous allons aborder les probabilités proprement dites.
Probabilités : le commencement
Comme cela a été dit dans l'intro, les matheux ont fait des probabilités une branche structurée à part entière des mathématiques. Pour cela, ils ont défini la notion de loi de probabilité. Voyons ce dont il s'agit.
Loi de probabilité.
Une loi de
probabilité est un mécanisme qui a un événement A fait
correspondre un nombre entre 0 et 1 : ce nombre est la probabilité qu'il se
produise.
| Définition
d'une loi de probabilité. E est un ensemble sur lequel se déroule une épreuve aléatoire. Par exemple, le tirage d'une carte parmi un jeu E de 32. Une loi de probabilité est une application p (ou une fonction) qui à un événement fait correspondre un nombre réel compris entre 0 et 1.
Cette loi de probabilité vérifie les propriétés suivantes :
|
Il est très rare que l'on définisse rigoureusement ce qu'est une loi de probabilité avant l'Université. Généralement, on emploie le mot sans plus. Ce qui est important, c'est de savoir calculer des probabilités comme dans les deux exemples que nous allons voir.
Equiprobabilité : tirage
d'une carte parmi 32 autres.
Revenons à notre exemple de la première page : on tire au hasard une carte parmi un
jeu de 32.
C'est l'exemple type d'épreuve équiprobable
: chaque carte a la même probabilité d'être tirée.
| Quelle est la probabilité de Tirer
la dame de trèfle ?
Comme chaque carte a la même probabilité d'être tirée, qu'il y en a 32 alors
la probabilité de Tirer
la dame de trèfle est égale à |
Formule
générale (équiprobabilité) :
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| Quelle est la probabilité de Tirer
une dame ?
Comme il y a quatre dames alors la probabilité de Tirer
une dame est de |
Remarque : En règle générale, on préfère donner les probabilités sous la forme de fractions irréductibles. C'est plus esthétique !
|
Quelle est la probabilité de Tirer un pic ?
Comme il y a huit pics alors la probabilité de Tirer
un pic est de Quelle est la probabilité de Ne pas tirer un pic ? Ne pas tirer un pic est l'événement contraire de Tirer un pic. En conséquence :
|
Nous reviendrons ultérieurement sur cet exemple à l'occasion de l'avant-dernier paragraphe.
Non
équiprobabilité : exemple d'un dés pipé.
Idéalement, lorsque l'on lance un dés
bien équilibré, il y a équiprobabilité. C'est-à-dire que l'on a autant de
chance d'obtenir un deux qu'un quatre. Il en va différemment lorsque le dés
est pipé ou mal équilibré.
| Dans cet
exemple, le dés ci-contre est mal équilibré. L'épreuve aléatoire consiste à le lancer une fois. La loi de probabilité de celle-ci est la suivante :
Autrement écrit, la probabilité d'obtenir un cinq au lancer est de 0,2 ou de deux chances sur 10. |
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| Quelle est la probabilité d'obtenir
un trois ?
En lisant le tableau, on lit que la probabilité d'obtenir un trois est de 0,3 ou trois chances sur 10. |
|
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre paire ? Les nombres paires que l'on peut obtenir en lançant un dés sont deux, quatre et six. L'événement nombre paire est donc réalisé lorsque que l'on obtient un deux, un quatre ou un six. On pourrait résumer cela par : nombre paire = deux ou quatre ou six. L'événement nombre paire est la réunion de ces trois événements
élémentaires.
En conclusion, on a autant de chance d'obtenir un trois qu'un nombre paire. |
| Mais comment qu'ils font leur loi de
probabilité ?
Pour obtenir la loi de probabilité du
dés, on se peut se servir de données statistiques. |
Probabilité d'un
événement contraire.
Si l'on connaît la probabilité d'un événement A alors il est possible de
connaître la probabilité de l'événement contraire 
.
En effet, la réunion d'un événement A et de
son contraire est
l'événement E = "n'importe
quoi fait l'affaire".
En effet, pour que A È
soit réalisé, il faut et il suffit que l'événement A soit réalisé ou que
son contraire le soit. Donc l'événement A È
est toujours réalisé !
Ainsi, comme A È
= E alors sa probabilité est égale à celle de E, c'est-à-dire 1.
Comme de plus, les événements A et
sont incompatibles alors en vertu de la troisième
propriété que respecte toute loi de probabilité digne de ce nom :
p(A
È
) =
p( A)
+ p()
1 = p( A)
+ p()
d'où
| p()
= 1 - p( A) |
Un exemple d'application de cette propriété est ce qui a été fait avec le jeu de cartes et l'événement Ne pas tirer un pic.
Un autre exemple avec notre ami le dés mal équilibré est ce qui suit :
| Quelle est la probabilité de ne
pas obtenir un trois ?
Cet événement est le contraire de
l'événement obtenir un trois. p("ne pas obtenir un trois") = 1 - p("obtenir un trois") = 1 - 0,3 = 0,7. On a donc deux fois de chances de ne pas obtenir un trois que d'en avoir un. C'est bien de le savoir ! |
Probabilités
d'une réunion et d'une intersection.
Lorsque que l'on connaît les probabilités des deux événements A
et B ainsi que celle de leur intersection A
et B, il est alors possible de connaître la probabilité de leur
réunion A ou B.
| Formule liant les probabilités d'une réunion et d'une intersection :
Si A et B sont deux événements alors p(A È B) = p(A) + p(B) - p(A Ç B) Ce qui s'écrit encore : p(A ou B) = p(A) + p(B) - p(A et B) |
Expliquons un peu d'où vient cette formule fort belle mais peu utile :
Un exemple d'application de cette propriété avec notre jeu de cartes est ce qui suit :
| Quelle est la probabilité de tirer
une dame ou un pic ?
L'événement tirer une dame ou un pic est la réunion des événements tirer une dame et tirer un pic. Ces deux derniers étant de vieilles connaissances. Leur intersection est l'événement tirer
la dame de pic. Ainsi donc :
En conclusion, on a donc 11 chances sur 32 que la carte tirée soit une dame ou un pic. Une chose que l'on savait déjà... |
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Autrement dit, une chance sur 32 de Tirer
la dame de trèfle. 
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