Quelques situations probables

Les probabilités niveau BAC moins 1 ou 2 sont essentiellement pratiques. Comprenez par là, qu'il ne sert à rien de lire d'entières pages de cours mais que la vérité est ailleurs : dans des vérités ou exercices à chercher.

Au travers des quatre exercices types suivants, nous chercherons cette vérité. Parfois, nous ferons aussi appel à ce qui a été vu dans les deux pages de cours précédentes.
A chaque fois, vous le constaterez : tout est affaire de bon sens !

Note : L'énoncé est toujours sur fond jaune alors que la réponse proposée est sur fond vert.

A l'occasion ors d'un enquête, on interroge 70 personnes sur leurs pratiques alimentaires en soirée. 45 d'entre elles déclarent prendre une tisane, 34 disent s'avaler un yaourt. Enfin, 14 personnes disent prendre une tisane et manger un yaourt.
On rencontre l'une de ces 70 personnes au hasard. Quelle est la probabilité pour que cette personne prenne le soir une tisane ou mange un yaourt.

Comme la rencontre se fait au hasard, nous sommes donc en situation d'équiprobabilité : on a autant de chance de rencontrer chaque personne.

La première chose à faire avant tout, est de récapituler les renseignements dont nous disposons en mettant en évidence ce qui est important :

45 personnes prennent une tisane.
34 mangent un yaourt.
17 prennent à la fois une tisane et yaourt.

Une remarque : les 17 personnes sont comptés dans les 45 tisanes et les 34 yaourts.
En fait, l'événement tisane et yaourt est l'intersection de événement tisane et de l'événement yaourt.
Ce que l'on nous demande de calculer est la réunion de ces deux derniers événements.

Au vu des renseignements que nous avons, la seule formule qui s'impose est :

p("tisane ou yaourt")

= p("tisane") + p("yaourt") - p("tisane et yaourt")

La probabilité de l'événement est donc égale à 13/14.
Autrement dit, on a 13 chances sur 14 de rencontrer une personne qui fasse tisane ou yaourt.

Une classe comporte 16 garçons et 20 filles. Parmi eux, Loïc et Marie.
Lors de l'étude du Tartuffe de Molière, le professeur de Lettres vaut jouer la scène III de l'acte III comportant deux personnages : Elmire et Tartuffe. Il demande à tous les garçons d'apprendre le rôle de Tartuffe et à toutes les filles celui d'Elmire. La semaine suivante, il tire au sort le nom des élèves qui constitueront la "distribution".

Combien y-a-t-il de "distributions" possibles ?

Il s'agit donc de choisir un garçon parmi 16.
Pour chaque p'tit gars choisi, il faudra lui associer une fille qu'il faudra choisir parmi les 20 prétendantes.

Il y a donc 16 × 20 = 320 distributions possibles.

b) Quelle est la probabilité de l'événement ni Loïc, ni Marie ne font partie de la distribution ?

Avant toute chose, disons que nous sommes en situation d'équiprobabilité. En effet, vu qu'il n'y a aucun favoritisme (je crois...), tous les couples sont permis...

Nous allons déterminer le nombre de distributions dont ni Loïc, ni Marie font partie. Il ne faut donc pas les sélectionner.
Réfléchissons un peu :

Loïc ne peut pas faire de la distribution : de fait le choix se restreint aux 15 garçons restant.
Marie ne peut pas non plus faire partie de la distribution : le choix concernant ces demoiselles sera donc à faire dans les 19 mégères encore en course.

Il y a donc 15 × 19 = 285 distributions sans Loïc, ni Marie.

La probabilité de l'événement ni Loïc, ni Marie ne font partie de la distribution est donc égale à .

Autrement écrit, on a 57 chances sur 64 qu'une distribution ne comporte ni Loïc, ni Marie.

c) Quelle est la probabilité de l'événement l'un au moins des deux élèves Loïc ou Marie fait partie de la distribution ?

Point besoin de se faire des noeuds au cerveau pour résoudre cette question. Car que veut dire cet événement ?
L'événement l'un au moins des deux élèves Loïc ou Marie fait partie de la distribution est réalisé lorsque Loïc ou Marie fait partie de la distribution.
C'est l'événement contraire (réfléchissez bien) de l'événement ni Loïc, ni Marie ne font partie de la distribution. Et nous connaissons la probabilité de ce dernier !

Donc :

p("l'un au moins des deux élèves")

= 1 - p("ni Loïc, ni Marie")

On a donc 7 chances sur 64 qu'une distribution comporte Loïc ou Marie.

Les lettres du mot TERMINAL sont inscrites sur 8 plaquettes.

On tire au hasard, successivement et sans remise, quatre plaques que l'on dispose devant soi, de gauche à droite, dans l'ordre du tirage. On obtient ainsi un "mot" de quatre lettres ayant un sens ou non.

a) Combien de "mots" différents peut-on former ?

En tirant au sort et successivement quatre plaquettes, on constitue un mot de quatre lettres.
Envisageons les choses de manière pratique :

pour la première lettre du mot, on a le choix entre 8 plaquettes.
pour la seconde, on a le choix entre 7 plaquettes car une a déjà été tirée précédemment.
pour la troisième, il faut tirer une des 6 lettres restantes.
pour la quatrième, il faut choisir entre les 5 lettres restantes

Donc, il y a 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 mots différents.

La question sans intérêt : pourquoi multiplie-t-on au fait ?
Après chaque première plaquette pour la première lettre, sept plaquettes peuvent être tirées pour la seconde lettre du "mot".
Ainsi, si la première lettre tirée a été la plaquette E, il y a sept possibilités pour la deuxième lettre.

Or ce qui est vrai pour la plaquette E l'est aussi pour les autres plaquettes. Le phénomène constaté se reproduit donc à huit reprises...
D'où la multiplication....

b) Quelle est la probabilité pour que le "mot" soit écrit avec quatre consonnes ?

Avant toute chose, il faut dire que nous sommes en face d'une situation équiprobable : à chaque tirage, toutes les plaquettes ont la même chance d'être tirée.

Pour déterminer la probabilité demandée, nous allons calculer le nombre de "mots" de quatre lettres.

Cinq plaquettes sont des consonnes. Autrement, lorsque l'on forme un "mot" :

pour la première lettre, on a le choix entre 5 plaquettes consonnes.
pour la seconde, il faut opter entre les 4 plaquettes consonnes restantes car une a déjà été tirée.
pour la troisième, il reste 3 plaquettes.
pour la quatrième, il faut choisir entre 2 plaquettes.

Donc, il y a 5 × 4 × 3 × 2 = 120 mots différents.

La probabilité pour qu'un "mot" soit écrit avec cinq consonnes est donc égale à .
Autrement écrit, on a une chance sur 14 d'avoir un mot écrit seulement avec des consonnes.

c) Quelle est la probabilité pour que le "mot" comporte au moins une voyelle ?

L'événement Au moins une voyelle est l'événement contraire de l'événement Que des consonnes.

Donc :

p("Au moins une voyelle")

= 1 - p("Que des consonnes")

On a donc 13 chances sur 14 que le "mot" comporte au moins une voyelle.

d) Quelle est la probabilité pour que le "mot" comporte exactement trois voyelles ?

Dans les huit plaquettes, il y a trois voyelles et 5 consonnes.

Un "mot" de quatre lettres qui comporte trois voyelles, ne peut avoir qu'une consonne. Pour déterminer le nombre de "mots" comportant exactement trois voyelles, nous allons devoir tenir compte de la position de cette consonne.

La consonne se trouve en première position.
Donc pour la première lettre, on a le choix entre 5 plaquettes consonnes.
Les lettres suivantes sont donc nécessairement des voyelles.
Pour la seconde lettre, on a le choix entre 3 plaquettes voyelles.
Pour la troisième, on a le choix entre 2 voyelles car on en a déjà tiré une.
Pour la quatrième, on n'a plus trop le choix car il ne reste plus qu'une voyelle à tirer.
Donc, il y 5 × 3 × 2 × 1 = 30 mots n'ayant qu'une seule consonne et en première position.
La consonne se trouve en seconde position.
Donc pour la première lettre est une voyelle. Pour celle-ci, on a le choix entre 3 plaquettes voyelles.
La seconde lettre étant une consonne, on a le choix entre 5 plaquettes consonnes.
Les deux dernières lettres restantes sont nécessairement des voyelles.
Donc :
Pour la troisième, on a le choix entre 2 voyelles car on en a déjà tiré une.
Pour la quatrième, il ne reste plus qu'une une voyelle à tirer.
Donc, il y 3 × 5 × 2 × 1 = 30 mots n'ayant qu'une seule consonne et en seconde position.
La consonne se trouve en troisième position.
Par un raisonnement analogue, on montre qu'il y a en tout 3 × 2 × 5 × 1 = 30 mots n'ayant qu'une seule consonne et en troisième position.
La consonne se trouve en quatrième position.
Pareillement, on prouve qu'il y a en tout 3 × 2 × 1 × 5 = 30 mots n'ayant qu'une seule consonne et en dernière position.

Donc il y a en tout 30 + 30 + 30 + 30 = 120 mots n'ayant qu'une seule consonne.

La probabilité pour qu'un "mot" n'ait qu'une seule consonne est donc égale à .
Autrement écrit, une chance sur 14.

e) Quelle est la probabilité de lire le mot "AMIE" ?

Un seul tirage peut amener le mot "AMIE". C'est le tirage :

La probabilité de ce tirage est donc égale à .

Une pièce de monnaie est mal équilibrée. Lorsque l'on la lance, la probabilité d'obtenir pile est égale à 0,4.
On lance deux fois de suite cette pièce de monnaie.
Quelle la probabilité pour que l'on obtienne deux fois face.

Note : dans le cas présent, l'épreuve n'est pas équiprobable car la pièce de monnaie est mal équilibrée.

Avant toute chose, il serait utile de savoir quelle est la probabilité d'obtenir face lorsque l'on lance une fois la pièce.
Le lancer d'un pièce n'a que deux issues possibles : ou bien c'est pile ou bien c'est face.
Face est donc l'événement contraire de pile.
Donc la probabilité d'obtenir face est égale à 1 - 0,4 = 0,6.

A présent, on lance deux fois la pièce de monnaie. Pour représenter l'épreuve et recenser toutes les issues possibles, on peut utiliser un arbre de probabilités.

Pour obtenir deux fois faces, on lance la pièce deux fois de suite :

A ce premier lancer, on a 60% de chances d'avoir face.
Au second lancer, on a toujours 60% de chances de refaire face.

En résumé, on a 60% de 60% de chances de faire face-face.
Donc la probabilité de faire deux fois face est égale à 0,6 × 0,6 = 0,36.

De la même façon, on trouve que les probabilités de faire Pile-Face et Face-Pile sont toutes les deux égales à 0,6 × 0,4 = 0,24.
Celle de faire deux fois pile vaut 0,4 × 0,4 = 0,16.