Pour toutes les premières à priori... Quasiment tous les élèves de Première et d'après sont amenés à étudier les suites arithmétiques. Nous ferons en sorte de dépasser tout carcan...

 
 

 
 

De leur définition.
Les suites arithmétiques sont un peu aux suites ce que les fonctions affines sont aux fonctions.
Grossièrement, une suite est dite arithmétique si pour passer d'un rang au suivant on rajoute toujours la même quantité. Cette quantité est appelée raison.
Donnons-en une définition plus mathématique.

Définition d'une suite arithmétique.
Dire que la suite (un) est arithmétique de raison r   signifie que   pour tout entier naturel n,

un+1 = un + r

Ainsi, si est une suite est arithmétique alors  :

Autrement dit :

Propriété : Si (un) est une suite arithmétique de raison r  alors  pour tout entier n,
un = u0 + n × r
De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques  alors :
un = up + (n - p) × r

Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme d'une suite arithmétique ou bien encore sa raison. 

Le truc en plus : pour démontrer qu'une suite est arithmétique, il suffit de prouver que la différence entre deux termes consécutifs est constante. C'est-à-dire qu'il suffit de montrer que pour tout entier n,

un+1 - un = constante

 
 

De la Monotonie.
La question est donc de savoir si les suites arithmétiques sont croissantes, décroissantes, constantes voir rien de tout cela.
Comme nous n'en avons pas la réponse, nous allons faire ce que nous ferions pour n'importe quelle suite : nous intéresser à la différence de deux termes consécutifs.

(un) est donc une suite arithmétique de raison r.
Pour tout entier n, on peut écrire que :

un+1 - un = r

Tout dépend donc du signe de r. Ainsi :

Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r.
  • Si r est négatif   alors   (un) est décroissante.
  • Si r est nul   alors   (un) est constante.
  • Si r est positif   alors   (un) est croissante.

Cette propriété est assez peu employée pour la simple et bonne raison qu'elle est assez naturelle pour peu que l'on sache ce qu'est une suite arithmétique.

 
 

Somme des n premiers entiers.
Chacun peut savoir que la somme des cinq premiers entiers naturels  1 + 2 +3 + 4 + 5  est égale à 15. Elle est assez facile à calculer.
Par contre, calculer la somme des 50 ou même 2000 premiers entiers naturels est un défi d'un tout autre calibre.
En fait, pas tant que cela car il existe une formule générale permettant de calculer cette somme des n premiers entiers. C'est l'objet de ce paragraphe.

Pour tout entier n, on appelle Sn la somme des n premiers entiers. Autrement dit :

Sn = 1 + 2 + 3 + .... + (n - 1) + n

Cette formule est l'histoire de l'animation que voici :

Ainsi donc :

Théorème : Si n est un entier naturel non nul alors :

Par exemple, la somme des 100 premiers entiers est égale à :

1 + 2 + .... + 100 = = 5050

Note : cette formule peut aussi être démontrée par récurrence.

On pourrait croire que cette formule est un simple jeu de mathématicien. Après tout, elle ne serait pas la première formule démontrée pour le simple de plaisir de ce genre de personnage...
En fait, cette formule peut être employée pour calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique. 
Elle peut servir dans des problèmes de cyclisme ou alors de pognon comme c'est le cas ci-dessous.

 

Somme des n premiers termes d'une suite : un problème de capitalisation.

Mr Pognon a décidé d'épargner pour se payer la maison de ses rêves. Il décrète que le premier mois, il versera 1500 francs sur son plan d'épargne.
Puis pour chaque versement mensuel suivant, il s'engage à l'augmenter de 300 francs chaque mois.
De quelle somme disposera-t-il au bout de 4 ans c'est-à-dire 48 mois ?
Il s'agit là d'un simple problème de suite. Le tout est de bien modéliser le phénomène (on parle de la capitalisation...).
On appelle un la somme qu'il épargne le nième mois de son effort.

Le premier mois, il verse 1500 francs donc  u1 = 1500.
Le second mois, il augmente son versement de 300 francs. Donc  u2 = 1800.
Le troisième mois, il augmente encore son versement de 300 francs.
Donc  u3 = 2100.

....
Le nième mois, il augmente toujours son versement de 300 francs par rapport au mois précédent (le numéro n - 1). Donc  un = un-1 + 300.

On construit donc ainsi une suite arithmétique de premier terme  u1 = 1500 et de raison  r = 300.
Donc pour tout entier n,   un = u1 + (n - 1) × r.

Nous pourrions calculer les montants de 48 versements qu'il effectue puis les additionner mais ce serait là un travail inutile.
Nous allons calculer son capital final en utilisant les suites arithmétiques et la formule donnant la somme de 47 premiers entiers...

On peut écrire que :

Conclusion : au bout de ses quatre ans de privation et d'efforts, Mr Pognon aura déjà un joli magot de 410400 francs.

Comme quoi, les suites arithmétiques servent la vraie valeur de la vie...

 
 
Le truc en plus : à l'instar de ce que nous venons de faire, il existe une formule permettant de calculer la somme de tous les termes compris entre un rang p et un rang n d'une suite arithmétique de raison r.
En effet, pour tout entier naturel n et p, on peut écrire que :

Ainsi :
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