Pour toutes les premières à priori... Quasiment tous les élèves de Première et d'après sont amenés à étudier les suites géométriques. Nous ferons en sorte de dépasser tout carcan...

 
 

 
 

De leur définition.
Les suites géométriques sont chez les suites des fonctions puissances chez... les fonctions.
Une suite est dite géométrique si pour passer d'un rang au suivant on multiplie toujours par la même quantité. Cette quantité est encore appelée raison.
Donnons-en une définition plus mathématique.

Définition d'une suite géométrique.
Dire que la suite (un) est géométrique de raison q   signifie que   pour tout entier naturel n,

un+1 = un × q

Autrement dit, nous avons la chose suivante :

Autrement dit :

Propriété : Si (un) est une suite géométrique de raison q  alors  pour tout entier n,
un = u0 × qn
De même, si n et p sont deux entiers naturels quelconques  alors
un = up × qn-p

Ces formules permettent de calculer n'importe quel terme d'une suite géométrique ou bien encore sa raison. Voyons cela sur quelques exemples.

Il est même possible d'être nettement plus vicieux...

Le truc en plus : pour démontrer qu'une suite est géométrique, il suffit de prouver que le quotient de deux termes consécutifs est constant. C'est-à-dire qu'il suffit de montrer que pour tout entier n,

= constante

 
 

De la Monotonie.
Contrairement aux suites arithmétiques, les géométriques ne sont pas nécessairement monotones. Voyons cela en détail...

(un) est donc une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.
Pour tout entier n, on peut écrire que :

 un+1 - un  = u0 × qn+1 - u0 × qn 
= u0 × qn × q  - u0 × qn
= u0 × qn × (q -1)

La monotonie dépend donc du signe des facteurs  u0,  qn  et  q - 1.

Première chose : pour que la suite soit monotone, il faut que la différence soit toujours positive ou toujours négative.
Or si la raison q est négative alors  qn sera tantôt positif (si n est pair) tantôt négatif (si n est impair).
Donc si q est négatif alors la suite n'est pas monotone.

Voyons à présent ce qu'il en est lorsque q est positif. Pour cela, nous allons dresser une sorte de tableau de signe en deux dimensions : en abscisse nous mettrons q, en ordonnée u0.  

Nous pourrions pour conclure faire une propriété. Mais serait-elle bien nécessaire ?
D'abord, le schéma ci-dessus résume tous les cas possibles.
Enfin, dans la pratique, face à une suite géométrique dont on connaît un premier terme et la raison, il est facile de connaître le signe de la différence  un+1 - un : il suffit de procéder ainsi que nous venons de le faire dans le cas général...

 
 

De l'utilité des suites géométriques.
Les suites géométriques servent dans ce qui est la seule vraie valeur de la vie : le pognon.
En effet, elles permettent de calculer ce que rapportera un placement au bout d'un certain nombre d'années. Un exemple avec ce qui suit :

 

Un placement avec intérêts capitalisés.

Il y a douze ans, Mr Pognon a placé 50000 francs sur un compte rémunéré au taux de 4% l'an, avec intérêts capitalisés.

De quelle somme dispose-t-il aujourd'hui ?
Il s'agit là d'un simple problème de suite. Le tout est de bien modéliser le phénomène (on parle de la capitalisation...).
On appelle un la somme dont il dispose la nième année.

La première année, son capital s'élève à 50000 francs donc  u1 = 50000.

La seconde année, le capital rapporte 4%. Comme les intérêts sont capitalisés, le capitale augmente donc de 4%. Ainsi :

u2 =  u1 + 4% de u1 = u1 + 0,04 × u1 = 1,04 × u1

La troisième année, le capital de l'année précédente rapporte encore 4% d'intérêts qui sont eux aussi capitalisés. Donc :

u3 = u2 + 4% de u2 = 1,04 × u2
....
La nième année, le capital de l'année précédente est toujours majoré de 4%.  Donc :
un = un-1 + 4% de un-1 = un-1 × 1,04 .

On construit donc ainsi une suite géométrique de premier terme  u1 = 50000 et de raison  q = 1,04.
Donc pour tout entier n,   un = u1 × qn-1 = 50000 × 1,04n-1.

Pour connaître la somme dont il disposera au bout de 12 années, il suffit donc de calculer u12.

u12 = 50000 × 1,0412 = 80051,6...

Conclusion : il dispose aujourd'hui de 80051 francs. En douze ans, son capital a donc progressé de 60 %.

Comme quoi, même les petites sommes permettent de faire de grands profits !

 

 
 

Somme des n+1 premières puissances d'un nombre réel.
Calculer la somme de 4 premières puissances de 2, c'est-à-dire  1 + 2 + 4 + 8  ne pose guère de problème. Mais dès que l'on s'attaque à la somme des 10 premières puissances, les choses se corsent.
L'objet de ce paragraphe est de trouver une formule donnant la somme des n+1 premières puissances d'un réel q. C'est-à-dire qu'il s'agit de calculer :

Qn = 1 + q + q2 + q3 + .... + qn-1 + qn

La présente somme comprend n+1 termes qui sont les n+1 premières puissances de q.
Pour note 1 est aussi q0.

Cette formule recherchée est l'histoire que narre l'animation que voici :

Ainsi donc :

Théorème : Si n est un entier naturel non nul et si q est un réel différent de 1 alors :

Par exemple, la somme des 11 premières puissances de 2 est égale à :

Note : cette formule peut aussi être démontrée par récurrence.

On pourrait croire que cette formule n'a d'autre vertu que d'exister. C'est une croyance car elle  peut être employée pour calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique. 
Elle peut en particulier servir dans des problèmes de cyclisme.

 
Le truc en plus : il existe une formule permettant de calculer la somme de tous les termes compris entre un rang p et un rang n d'une suite géométrique de raison q.
En effet, pour tout entier naturel n et p, on peut écrire que :

Ainsi :

Bien sûr, la raison q doit être différente de 1... 
 
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