Les nombres complexes demeurent l'apanage des élèves de Terminale Scientifique et de ceux qui viennent après. Nous nous conformerons à ce que nous croyons utile ou passionnant, c'est-à-dire ce que nous pensons...

Complexitudes.

Ainsi naquit .
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, c'est-à-dire un réel dont ils sont le carré.
Par exemple, 9 a pour racine 3 et 2 a pour racine . Même 0 a une racine : lui-même.
Par contre, aucun réel négatif n'a de racine. Tout du moins de racine réelle. C'est pour pallier à cette discrimination que furent créer les nombres complexes. Voici leur histoire.

Complexitudes se déroulera en trois pages.
Dans cette première, nous aborderons la construction de l'ensemble des nombres complexes.
La seconde page nous permettra d'aborder les nombres complexes d'une point de vue géométrique. Nous y parlerons d'affixe, de module, d'argument et d'exponentielle complexe.
Enfin, dans la troisième page nous verrons les complexes sur un jour algébrique. Nous dirons comment résoudre des équations dans et nous essaierons de voir au-delà de cet nouvel ensemble de nombre.

Le menu vertical ci-contre vous permet de naviguer entre ces trois pages.
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L'index rescence tous les points traités et retraités dans Complexitudes.
Enfin, une calculatrice complexe vous aidera à mieux appréhender et maitriser ces nouveaux nombres pourtant si simple...

Voici donc :

Le nombre i.
A l'instar de tous les nombres négatifs, -1 n'est le carré d'aucun nombre réel. Il n'a donc aucune racine dans . Mais cela ne veut pas dire que cette racine n'existe pas !
Après tout, 2 n'avait pas de racine jusqu'au moment où on lui en trouvait une en la personne de .

Etre une racine de -1, cela veut dire annuler le polynôme  x²+ 1.
Or  x² + 1  a au plus deux racines à cause de son degré.
Donc il en va de même pour -1 : il y a au plus deux nombres qui ont pour carré -1.

On appelle i un nombre dont -1 est le carré. On décrète que i est la racine de -1. Ainsi :

i² = -1

De plus, son opposé -i a aussi pour carré -1. En effet :

(-i)² = [(-1) × i]² = (-1)² × i²  = -1

Un peu d'histoire : le nombre i a longtemps été noté pour la raison évidente que i a pour carré de -1. La notation i fut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant le premier a parlé de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 1637. Il est à noter que jusqu'au milieu du XIXème siècle, les nombres complexes étaient manipulés avec beaucoup de réticences par les mathématiciens. C'est à compter de cette époque qu'ils prirent une importance croissante, notamment sous l'impulsion de l'allemand Bernhard Riemann.

Vers la construction de .

En introduisant i, nous avons créé un nombre extérieur à  . De facto, nous avons créé un nouvel ensemble qui contient et prolonge (avec les mêmes opérations +, -, × et /) mais dont i et -i font également partie. Nous avons créé une nouvelle espèce de nombre.

Nous ignorons tout de cette nouvelle espèce numérique. Essayons de mieux la connaître.

A l'instar des réels, elle doit posséder une addition. Voyons quelques exemples de sommes :

• La somme de i et de i est nécessairement  2.i. 
  Car après tout, on doit additionner les i comme on ajoute les x :  x + x = 2.x.
  De la même façon, 7.i + 5.i = 12.i.
  Parmi ces nouveaux nombres, il y en a donc de la forme  n × i  où n est un entier naturel.
  Et si on multiplie par un entier, qu'est-ce qui nous empêche de multiplier par un rationnel ou un réel.
  Parmi nos nouveaux nombres, il y en a donc de la forme  b × i  où b est un réel.
   
• A quoi est donc égale la somme de 1 et de i ?
  La réponse toute faite serait au nombre  1 + i.
  Et c'est même sûrement la meilleure car après il est des nombres comme  1 +   que l'on ne peut pas mieux écrire.
  Dans notre nouvelle espèce de nombre, il y aura donc des choses de la forme   a + b × i    où a et b sont deux réels.

Pour le moment, nous connaissons la forme de certains de ces nouveaux nombres. Mais rien ne nous garantit qu'il n'y en ai pas d'autres.
Pour le savoir, nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme   réel + i × un autre réel  donne quelque chose d'encore de cette forme.

• L'épreuve de la somme.
  Additionnons les nombres  a + i.b  et  c + i.d  où a, b, c et d sont des réels.

  (a + i.b) + (c + i.d) = a + i.b + c + i.d = a + c +  i.b +  i.d  = (a + c) + i.(b + d) 

  Donc la somme conserve la forme.
   
• L'épreuve de la différence.
  Soustrayons le nombres  c + i.d  et  a + i.b.  Ici encore a, b, c et d sont des réels.
  Nous allons appliquer :

  (a + i.b) - (c + i.d) = a + i.b - c - i.d = a - c +  i.b -  i.d  = (a - c) + i.(b - d) 

  Donc la différence conserve la forme.
   
• L'épreuve du produit.
  Multiplions le nombre  a + i.b  par  c + i.d  . Là toujours, a, b, c et d sont des réels.
  Pour parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

  (a + i.b) × (c + i.d)	= a × c + a × i.d + i.b × c + i.b ×  i.d
  	= a × c + i. a × d + i. b × c  + i2 × b × d
  	= a × c + i. a × d + i. b × c + (-1) × b × d
  	= (a × c - b × d) +  i . (a × d + b × c)

  Donc le produit conserve la forme.

   
• L'épreuve du quotient.
  Une division est avant tout une multiplication par l'inverse.
  Donc si notre forme passe l'épreuve de l'inversion alors elle passera l'épreuve du quotient vu qu'elle passe déjà l'épreuve du produit.
  Inversons donc le nombre  c + i.d   où c et d sont des réels.

  

  Donc l'inverse d'un nombre de la forme  réel + i × un autre réel  est encore de cette forme.
  Par conséquent, il en va de même pour le quotient .

Ainsi chacun de ses nouveaux nombres est de la forme  réel + i × un autre réel.
Nous venons de définir l'espèce des nombres complexes.

	Définition d'un nombre complexe. Un nombre complexe est un nombre de la forme  réel + i × un autre réel  ou  a + i × b  où a et b sont des réels. L'ensemble des nombres complexes est noté .

Quelques précisions sur ce nouvel ensemble de nombres :

1. Tout nombre réel est un complexe. En effet, on peut écrire que :  a = a + i × 0.
    
2. Dans le nombre complexe  z = a + i × b, a porte le nom de partie réelle et b celui de partie imaginaire.
   Re(z) désigne la partie réelle de z (c'est-à-dire a). Sa partie imaginaire est notée Im(z). 
   Lorsque a est nul, alors  z = i × b. On dit que z est un imaginaire pur.
    
3. Le conjugué du complexe  z = a + i × b  est le nombre complexe  a - i × b. On le note .
   Le conjugué du conjugué est le nombre lui-même. Ainsi : = z.
    

   La conjugaison présente certaines propriétés faciles à démontrer. Enonçons-les ! La conjugaison laisse passer toutes les opérations. Ainsi le conjugué d'une somme, d'une différence, d'un produit ou d'un quotient est la somme, la différence, le produit ou le quotient des conjugués. Autrement écrit : A partir d'un complexe et de son conjugué, il est possible de trouver ses parties réelles et imaginaires. Ce sont les formules suivantes :

    
4. A l'instar des réels, les nombres complexes qui les prolongent peuvent être additionnés, soustraits, multipliés, inversés et divisés.
   

   Les différentes formules opératoires		Par exemple :
   (a + i.b) + (c + i.d) = (a + c) + i.(b + d)		(2 - 3.i) + (-7 + 4.i) = -5 + i
   (a + i.b) - (c + i.d) = (a - c) + i.(b - d)		(2 - 3.i) - (-7 + 4.i) = 9 - 7.i
   (a + i.b) × (c + i.d) = (a×c - b×d) + i.(a×d + b×c)		(2 - 3.i) + (-7 + 4.i) = -2 + 29.i

   Pour cette deux dernière opération, le dénominateur doit être non nul... comme pour les réels !

Juste un peu plus loin : Les ensembles et sont ce que l'on appelle des corps. C'est-à-dire que ce sont deux ensembles sur lesquels on a défini deux opérations que sont l'addition et la multiplication pour lesquelles : Tout réel ou tout complexe z admet un opposé, c'est-à-dire un nombre du même type z' tel que  z + z' = 0. Tout réel ou tout complexe non nul z admet un inverse, c'est-à-dire un nombre z' tel que  z × z' = 1.  Il faut dire que nous avons construit pour qu'il en soit ainsi. Un autre exemple de corps est l'ensemble des rationnels . Par contre, n'est pas un corps car 2 par exemple n'a pas d'inverse dans cet ensemble. C'est seulement un anneau.

Complexitudes 1/3 : la genèse

Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
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