Opérations sur les fractions

En Sixième, tu as sans doute déjà additionné, soustrait ou multiplié deux fractions. Il s'agissait alors de fractions sur 10, 100 ou 1000.
Le traitement que tu réservais à ces fractions décimales, nous allons l'étendre à toutes les autres. Et à la fin, nous les combinerons...

Additionner et soustraire deux fractions.
Ce premier 
Comme nous allons le voir, additionner deux fractions revient à ajouter des parts de gâteaux.
Pour bien comprendre et analyser le phénomène, nous allons devoir envisager deux cas de figure.

• Les deux fractions ont même dénominateur.
  Par exemple, additionnons les fractions  et  .
   

  Parlons tout de suite de ce qu'il ne faut pas faire ! Certains petits malins diront certainement que pour additionner deux fractions, il suffit d'ajouter séparément leurs numérateurs et leurs dénominateurs ! En clair, ils feront la bêtise suivante : C'est une belle anerie car 0,25 + 0,5 est égal à 0,75. Et non à 0,375 ! Donc ce n'est certainement pas ainsi qu'il faut faire !

  Envisageons les choses de manière plus gastronomique !
  Rapportées à un gâteau rond partagé en quatre parts, la fraction    représente une part et    correspond à 2 parts.
  Comme nous devons faire une addition, additionnons les parts !
  Nous avons donc la situation suivante :

  
  Inspirons-nous de cet exemple gourmand.
  La bonne manière d'additionner les fractions    et    est donc :
  Comme est égal à 0,75 , nous avons donc trouvé le bon résultat !
  Nous savons désormais comment additionner (et même soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.
   

  Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur. Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions ayant le même dénominateur : on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs. on conserve leur dénominateur commun. Autrement écrit :

  Cette règle est certes utile mais que se passe-t-il lorsque les deux fractions n'ont pas le même dénominateur ?
  C'est l'objet du cas suivant.
   
   

• Les deux fractions n'ont pas le même dénominateur.
  Par exemple, additionnons les fractions    et  .
  Représentons pâtissièrement cette addition :
  

  A quelle fraction correspond la part totale ? Voilà la question !
  Les quarts et les tiers ne s'additionnent pas facilement même lorsqu'il s'agit de parts de gâteau !
  La seule chose que nous savons faire est d'additionner deux fractions ayant le même dénominateur.
  Nous allons donc mettre les fractions    et    sur un même dénominateur.
  Parmi les dénominateurs communs possibles, il y a 12, 24, 36...
  Nous choisissons le plus simple d'entre eux qui est 12.
   

  La situation vient donc évolué : au lieu d'additionner des quarts et des tiers, nous additionnerons des douzièmes...
   

   
  La bonne manière d'additionner les fractions    et    est donc :
  
   
  Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, il suffit de leur trouver un dénominateur commun. D'où la règle suivante :
   

  Règle 2 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant des dénominateurs différents. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur : on les met sur un même dénominateur. puis, on les additionne (ou on les soustrait) en utilisant la règle 1.

Nous savons désormais comment additionner ou soustraire deux fractions grâce à nos deux règles. Mais rien ne remplace la pratique !
C'est l'objet du prochain paragraphe.

Addition ou  soustraction particulières.
Dans le précédent paragraphe, nous avons vu et expliquer les règles qui permettent d'additionner et de soustraire deux fractions.
Dans ce paragraphe, nous allons la mettre en pratique sur deux exemples particuliers.

Exemple 1 : le plus petit dénominateur commun. Effectuons l'opération . Pour soustraire ces deux fractions, il faut au préalable leur trouver un dénominateur commun. Certains diront que leur dénominateur commun est  48 = 8 × 6. C'en est un mais ce n'est pas le plus simple ! Le plus simple est 24  car   24 = 8 × 3   et    24 = 6 × 4.   Nous aurions pu faire le calcul en choisissant pour dénominateur commun 48 mais ils auraient été un peu plus compliqués...

Exemple 2 : additionner un entier et une fraction. Par exemple, effectuons l'opération . Là, il y en a qui vont dire : "Additionner deux entiers, on sait faire. Additionner des fractions, on sait faire. Mais additionner un entier et une fraction, on ne sait pas faire ! Erreur car un entier est une fraction qui s'ignore ! En effet, . A partir de là, nous savons faire ! Ce que nous avons fait pour l'entier 3 peut être refait pour n'importe quel nombre décimal car un décimal est lui aussi une fraction qui s'ignore.

Multiplier deux fractions.
Contrairement à l'addition et à la soustraction, les fractions se passent très bien le cap de la multiplication. Peut-être est-ce parce que une fraction est avant tout une division...

Ainsi par exemple :

Le problème : multiplier un entier et une fraction. Par exemple, effectuons la multiplication  3 × . A l'opération près, c'est l'exemple 2 du précédent paragraphe. Nous avions usé alors d'une grosse astuce en disant que l'entier 3 était aussi la fraction . Réutilisons cette astuce... Une remarque : Si l'on regarde bien ce qui a été fait, on observe que : on a multiplié le numérateur 2 par l'entier 3. on a conservé le dénominateur 7. C'est l'application de la règle :

Des additions, des soustractions et des multiplications : la totale !
Dans une expression, il est possible d'avoir trois fractions, une addition et une multiplication. Par exemple, nous pourrions être amené à calculer  .
Point de panique car ce genre de calculs, nous savons les faire. C'est juste une histoire de priorités opératoires.

Voyons comment marchent les choses avec deux exemples :

• Calculons .
  Cette expression se compose d'une addition et d'une multiplication. Cette dernière est prioritaire sur la première. Le calcul commencera donc par la multiplication.
   
  
   
• Calculons .
  La présente expression comporte une multiplication et une addition entre parenthèses. Nous devons en priorité nous occuper de ce qui est entre parenthèses.
   
  
   

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