tan(x).Etude de la fonction tangente.
L'étude de la fonction tangente est à la limite du programme de Seconde. Ce qui suit l'est donc aussi...
La fonction tangente est la fonction définie par :
tan : x
tan(x).
Une (ancienne) notation de tangente est l’abréviation tg. Elle semble en voie de disparition.
Le plan d'étude est le suivant :
Il s'agit de définir les réels x qui admettent une image par la fonction tangente.
Rappelons ce qu'est la tangente d'un nombre réel x :
tan(x) est donc avant tout un quotient. Et comme tel il n'existe que lorsque le dénominateur est non nul. En résumé :
tan(x) existe lorsque et seulement lorsque cos(x) ¹ 0.
Mais quand cos(x) est-il nul ?
On appelle M le point du cercle associé au réel x. Rappelons que cos(x) est l'abscisse du point M. Faisons un dessin.
Dire que cos(x) = 0 équivaut à dire que M est soit le point B, soit le point B'.
Or :
Dans les deux cas, k est un entier relatif.
Si on résume le tout :
Par exemple, les cosinus 
/2, 3/2, -/2 et -5/2 sont nuls. En effet :
Pour ces réels, il est impossible de prendre la tangente ! Ils ne font pas partie de l'ensemble définition.
Cet ensemble de définition sera une succession (réunion) d'intervalles ouverts de la forme ]/2 + k. ; + (k+1).[. Ce sera quelque chose de la forme :
Cet ensemble est plein de trous ! Comme l'Emmental !
Comme ses consoeurs sinus et cosinus, la fonction tangente est périodique. Sauf que la période n'est pas la même !
Pour tout réel x dont la tangente existe (ça évite les problèmes !), on a que :
Entre en action deux propriétés qui concerne sinus et cosinus du réel + x.
La fonction tangente est donc -périodique. L'étude peut donc être restreinte à un intervalle de longueur . Nous prendrons ]-/2 ; /2[.
Pour tout réel x dont la tangente existe, on a que :
Autrement dit, la fonction tangente est impaire. Cette propriété permet de restreindre l'intervalle d'étude à la partie positive de ]-/2 ; /2[. L'étude se fera donc sur ]0 ; /2[
Comportements après -/2 et avant /2.
La fonction tangente est un quotient comme la fonction inverse. Certaines particularités que cette dernière présente au voisinage de 0, cette première les admet à droite -/2 et à gauche /2. Dans les deux cas, il s'agit de réels où les fonctions ne sont pas définies.
Pour observer ce qui se passe après -/2 et avant -/2, cliquer ici.
Après -/2 : supposons que x se rapproche par la droite de -/2.
Quand x se rapproche par la droite (par valeurs supérieures) de -/2 :
sin(x) se rapproche de –1 car sin(-/2) = -1 et cos(x) se rapproche de 0 mais il est positif car x est supérieur à -/2. Ainsi à l'approche de -/2 par la droite,
Etant le quotient d'un négatif et d'un dénominateur qui devient de plus en plus petit mais qui reste positif, tan(x) devient de plus en plus négativement grand à l'approche de -/2 par la droite.
Résumons le raisonnement :
Lorsque x tend vers -/2 par la droite, tan(x) vers -
. On dit aussi que la limite à droite de -/2 de la fonction tangente est -.
Avant /2 : supposons que x se rapproche de /2 par la gauche (par valeurs inférieures).
Etant le quotient d'un positif et d'un dénominateur de plus en plus petit mais positif, tan(x) devient de plus en plus positivement grand à l'approche de /2 par la gauche.
En résumé :
Lorsque x tend vers /2 par la gauche, tan(x) vers +. On dit aussi que la limite à droite de /2 de la fonction tangente est +.
Tracé de la courbe représentative.
Pour tracer la courbe, il nous faut quelques valeurs connues du sinus. Etablissons donc un tableau de celles-ci.
|
x |
0 » 0,00 ! |
» 0,52 |
» 0,79 |
» 1,05 |
|
tan(x) |
0 |
» 0,58 |
1 |
» 1,73 |
Les quatre valeurs proviennent du tableau des valeurs remarquables de la tangente. Nous pouvons à présent tracer la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle ]-/2 ; /2[.
Aveu : pour tracer la courbe, nous utilisons en fait d'autres points...
Traçons à présent la courbe représentative de la fonction tangente sur l'intervalle [-7 ; 7].
La fonction tangente étant -périodique, la courbe sur l'intervalle [-7 ; 7] se déduit de celle sur ]-/2 ; /2[ par des translations de longueur . On obtient alors :
Les droites d'équation x = -3/2, x = -/2, x = /2 et x = 3/2 sont ce que l'on appelle des asymptotes de la courbe représentative de la fonction tangente. Et ce ne sont pas les seules !
D'après la courbe, la fonction tangente semble croissante sur cet intervalle. Démontrons-le !
On considère x et x' sont deux réels de l'intervalle [0 ; /2[ tels que x < x'.
Comme la fonction sinus est croissante sur cet intervalle alors sin(x) < sin(x').
Comme la fonction cosinus y est décroissante alors cos(x) > cos(x').
Or sur [0 ; /2[ le cosinus est positif (et non nul). Donc cos(x) et cos(x') sont deux réels positifs. Par passage à l'inverse, il vient alors que :
.
Enfin toujours sur [0 ; /2[, le sinus est positif. Donc sin(x) et sin(x') sont aussi deux réels positifs.
Par multiplication membre à membre de ces deux égalités, il vient que :
En résumé, si x < x' alors tan(x) < tan(x'). La fonction tangente est donc croissante sur [0 ; /2[. Nous pouvons à présent passer au tableau de variation.
La fonction tangente est impaire. Comme elle est croissante sur [0 ;
/2[, tan est aussi croissante sur ]-
/2 ; 0]. Bref la fonction tangente est toujours croissante ! Ce qui donne le tableau de variation suivant :
/3