Etude de la fonction affine  f(x) = -2.x + 1

Une page est consacrée à l'étude des fonctions affines en générale. A beaucoup, cela paraitra sans doute trop abstrait et peu parlant.C'est pourquoi, nous étudierons deux fonctions affines particulières. Voici l'une d'entre elle...

Etudions la fonction affine f définie par :

pour tout réel x,   f(x) = -2.x + 1
Ici,   a = -2   et   b = 1.

 

Courbe représentative.
La courbe représentative de la fonction f est la droite D d'équation   y = -2.x + 1.
Traçons cette courbe.
Pour tracer une droite, il faut en connaitre deux points.
Comme f(0) = -2×0 + 1 = 1, alors la droite D passe par le point M(0 ; 1).
De même, vu que f(1) = -2×1 + 1 = -1, alors la droite D passe par le point N(1 ; -1).
Ce qui donne la courbe suivante :

 

Variations de la fonction f.
Vu que tout réel x a une image par cette fonction f, l'étude de celle-ci se fera donc
sur l'intervalle ]- ; +[.
Soient x et y deux réels tels que   x < y.
Classiquement, intéressons-nous au signe de la différence   f(y) - f(x).

f(y) - f(x) = (-2.y + 1) - (-2.x + 1) = -2.y + 1 + 2.x - 1 = -2.y + 2.x = 2.(x - y)
Comme y est plus grand que x alors le facteur x - y   est négatif.
En tant que produit de du nombre positif 2 et du facteur négatif x - y, la différence est donc négative.
Ainsi :
Si   x < y   alors   f(y) - f(x) < 0     f(x) > f(y).
donc la fonction f est décroissante sur .
Ce que l'on résume par le tableau de variation suivant :
Et un tableau ! Hein !

 

Signe du binôme -2.x + 1.
Pour parvenir à nos fins, déterminons le ou les antécédents de 0 par f.
Pour les trouver, il nous faut résoudre l'équation   f(x) = 0.

f(x) = 0   équivaut à   -2.x + 1 = 0
équivaut à   -2.x = -1
équivaut à   x = (-1)/(-2)
équivaut à   x = 0,5
Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est 0,5.
Or la fonction f est décroissante. Positionnons 0,5 dans son tableau de variation.
0,5 est le point où f(x) change de signe...
Donc : Conclusion : Le signe du binôme -2.x + 1 en fonction de x est donc :
Justice a été rendue...


Cette page ainsi que la quasi-totalité des éléments et de la programmation qui la composent ou qui en dépendent, ont été conçus et réalisés par Jérôme ONILLON. Elle est exclusivement mise en ligne par la taverne de l'Irlandais.
(c) AMLTI Juillet 1999/Janvier 2003. Tous droits réservés.