Les fonctions périodiques.
Certaines fonctions présentent certaines particularités. Certaines sont paires comme la fonction carrée, d'autres impaires comme la fonction cube. Certaines enfin sont périodiques. C'est le cas des fonctions sinus, cosinus et tangente.
Le sommaire de cette page est le suivant :
M'sieur P'tit-Larousse donne la définition suivante : "Une fonction périodique est une fonction qui reprend la même valeur lorsque la variable subit un accroissement égal à un multiple quelconque d'une quantité fixée". La nôtre sera plus mathématique !
Par exemple, les fonctions sinus et cosinus sont 2
-périodiques. Tangente est elle -périodique.
Nous aurions pu aussi dire que la fonction sinus était 4-périodique. En effet, pour tout réel x,
De la même manière, on montre que 6 est une autre période de la fonction sinus. De façon générale, tous les multiples de 2
(ceux de la forme k × 2) sont des périodes de la fonction sinus.
Par convention, quand on dit qu'une fonction est T-périodique, cela signifie que T est la plus petite période de la dite fonction.
A l'instar de la parité, la périodicité permet de réduire les intervalles d'étude des fonctions. Nous allons voir pourquoi.
Périodicité et courbe représentative.
Intéressons-nous au tracé d'une de ces fonctions périodiques.
Pour tracer la représentation graphique d'une fonction T-périodique, il suffit donc de construire la courbe sur un intervalle de longueur T puis de translater autant de fois que nécessaire. Comme dans l'animation !
Observons une courbe représentative d'une fonction périodique. Nous prendrons pour exemple la fonction cosinus.
On remarque une certaine régularité. La courbe semble se répéter tous les 2. Un réel qui est la période de la fonction cosinus. C'est là, la principale caractéristique graphique des fonctions périodiques.
Par exemple, prenons le cas de la fonction sinus qui est 2
-périodique.
Comme la fonction est croissante sur [-/2 ; /2] alors elle l'est aussi 2 plus loin, donc sur [3/2 ; 5/2]. Mais elle est aussi croissante 2 moins loin, c'est-à-dire sur [-5/2 ; -3/2].
est croissante sur l'intervalle [39/2 ; 41/2].
La périodicité permet de réduire l'étude des variations d'une fonction à un intervalle de longueur égale à la période. Par exemple, pour la fonction sinus sur [- ; ] dont la longueur est égale à 2. Après, tout est un jeu de translation d'un certain nombre de fois la période...
La preuve du théorème :
La démonstration pour les deux cas est sensiblement la même. Dans ce qui suit, f est une fonction T-périodique.
Soient x et y sont deux réels de l'intervalle [a + T ; b + T] tels que x < y.
Les réels x – T et y – T font alors partie de l'intervalle [a ; b]. De plus, le premier est inférieur au second.
Deux cas sont envisagés dans le théorème :
(i) : la fonction f est croissante sur [a ; b].
N'oublions pas que T est une période de la fonction f.
Ainsi, si x et y sont deux réels de l'intervalle [a + T ; b + T] tels que x < y alors f(x) < f(y).
La fonction f est donc aussi croissante sur [a + T ; b + T]. D'où le (i).
(ii) : la fonction est décroissante sur [a ; b].
En clair si x et y sont deux réels de l'intervalle [a + T ; b + T] tels que x < y alors f(x) > f(y).
Par conséquent, f est aussi décroissante sur [a + T ; b + T]. D'où le (ii).